Вариант 1, страница 86 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

Самостоятельные работы. СР-28. Диэлектрики и проводники в электростатическом поле - страница 86.

Условие.

СР-28. Диэлектрики и проводники в электростатическом поле

Вариант 1

1. Два точечных заряда взаимодействуют в среде с диэлектрической проницаемостью 81 на расстоянии 20 см. На какое расстояние нужно поместить эти заряды в среде с диэлектрической проницаемостью, равной 2, чтобы сила их взаимодействия осталась прежней?

2. Металлический шар радиусом 5 см, заряженный до потенциала 20 В, окружили незаряженной концентрической проводящей оболочкой радиусом 10 см. Чему станет равен потенциал шара, если внешнюю оболочку заземлить?

Решение.

1. Дано:

Диэлектрическая проницаемость первой среды: $\epsilon_1 = 81$
Расстояние между зарядами в первой среде: $r_1 = 20 \text{ см}$
Диэлектрическая проницаемость второй среды: $\epsilon_2 = 2$
Сила взаимодействия в первом случае равна силе во втором: $F_1 = F_2$

Перевод в СИ:
$r_1 = 0.2 \text{ м}$

Найти:

Расстояние между зарядами во второй среде: $r_2$

Решение:

Сила взаимодействия двух точечных зарядов $q_1$ и $q_2$ в среде с диэлектрической проницаемостью $\epsilon$ на расстоянии $\text{r}$ определяется законом Кулона:
$F = k \frac{|q_1 q_2|}{\epsilon r^2}$, где $\text{k}$ – электрическая постоянная.

Для первой среды сила взаимодействия равна:
$F_1 = k \frac{|q_1 q_2|}{\epsilon_1 r_1^2}$

Для второй среды:
$F_2 = k \frac{|q_1 q_2|}{\epsilon_2 r_2^2}$

По условию задачи силы взаимодействия равны ($F_1 = F_2$), следовательно, мы можем приравнять правые части выражений:
$k \frac{|q_1 q_2|}{\epsilon_1 r_1^2} = k \frac{|q_1 q_2|}{\epsilon_2 r_2^2}$

Сократив одинаковые множители ($\text{k}$, $|q_1 q_2|$), получим:
$\frac{1}{\epsilon_1 r_1^2} = \frac{1}{\epsilon_2 r_2^2}$

Отсюда выразим искомое расстояние $r_2$:
$\epsilon_2 r_2^2 = \epsilon_1 r_1^2$
$r_2^2 = \frac{\epsilon_1}{\epsilon_2} r_1^2$
$r_2 = r_1 \sqrt{\frac{\epsilon_1}{\epsilon_2}}$

Подставим числовые значения и произведем расчет:
$r_2 = 0.2 \text{ м} \times \sqrt{\frac{81}{2}} = 0.2 \times \sqrt{40.5} \approx 0.2 \times 6.364 \approx 1.27 \text{ м}$

Ответ: чтобы сила взаимодействия осталась прежней, заряды в среде с диэлектрической проницаемостью 2 нужно поместить на расстояние примерно 1.27 м.

2. Дано:

Радиус металлического шара: $R_1 = 5 \text{ см}$
Начальный потенциал шара: $\phi_1 = 20 \text{ В}$
Радиус проводящей оболочки: $R_2 = 10 \text{ см}$

Перевод в СИ:
$R_1 = 0.05 \text{ м}$
$R_2 = 0.1 \text{ м}$

Найти:

Новый потенциал шара после заземления оболочки: $\phi'_{1}$

Решение:

Сначала найдем заряд $q_1$ на металлическом шаре. Потенциал уединенного проводящего шара радиусом $R_1$ связан с его зарядом соотношением:
$\phi_1 = k \frac{q_1}{R_1}$, где $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$.
Из этой формулы выражаем заряд шара: $q_1 = \frac{\phi_1 R_1}{k}$.

Когда заряженный шар окружают незаряженной проводящей оболочкой, на ее внутренней поверхности индуцируется заряд $-q_1$, а на внешней $+q_1$. При заземлении внешней оболочки ее потенциал становится равным нулю (потенциалу Земли). Это приводит к тому, что заряд $+q_1$ с внешней поверхности оболочки "утекает" в землю. В результате на внутренней поверхности оболочки остается заряд $-q_1$.

Система "шар – заземленная оболочка" образует сферический конденсатор. Потенциал внутреннего шара $\phi'_{1}$ теперь определяется как суммарный потенциал от собственного заряда $q_1$ и от заряда $-q_1$ на оболочке.
Потенциал на поверхности шара равен:
$\phi'_{1} = (\text{потенциал от заряда } q_1) + (\text{потенциал от заряда } -q_1)$
$\phi'_{1} = k \frac{q_1}{R_1} + k \frac{-q_1}{R_2}$
(Потенциал, создаваемый заряженной сферой радиусом $R_2$ в любой точке внутри нее, постоянен и равен потенциалу на ее поверхности).

Вынесем общие множители за скобки:
$\phi'_{1} = k q_1 \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$

Теперь подставим в это выражение ранее найденное выражение для заряда $q_1 = \frac{\phi_1 R_1}{k}$:
$\phi'_{1} = k \left( \frac{\phi_1 R_1}{k} \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = \phi_1 R_1 \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
Раскроем скобки:
$\phi'_{1} = \phi_1 \left( \frac{R_1}{R_1} - \frac{R_1}{R_2} \right) = \phi_1 \left( 1 - \frac{R_1}{R_2} \right)$

Подставим числовые значения:
$\phi'_{1} = 20 \text{ В} \times \left( 1 - \frac{0.05 \text{ м}}{0.1 \text{ м}} \right) = 20 \times (1 - 0.5) = 20 \times 0.5 = 10 \text{ В}$

Ответ: потенциал шара станет равен 10 В.