Вариант 3, страница 86 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

Самостоятельные работы. СР-28. Диэлектрики и проводники в электростатическом поле - страница 86.

Условие.

Вариант 3

1. Маленький заряженный шарик погрузили в керосин. На каком расстоянии от шарика напряженность поля будет такая же, какая была в воздухе на расстоянии 29 см?

2. Металлический шар радиусом 10 см, заряженный до потенциала 50 В, окружают концентрической проводящей сферой радиусом 20 см. Чему станет равен потенциал шара, если сферу заземлить?

Решение.

1. Маленький заряженный шарик погрузили в керосин. На каком расстоянии от шарика напряженность поля будет такая же, какая была в воздухе на расстоянии 29 см?

Дано:

$r_1 = 29$ см

Среда 1: воздух, диэлектрическая проницаемость $\epsilon_1 \approx 1$

Среда 2: керосин, диэлектрическая проницаемость $\epsilon_2 \approx 2.1$ (справочное значение)

$E_1 = E_2$

Перевод в СИ:

$r_1 = 0.29$ м

Найти:

$r_2$

Решение:

Напряженность электрического поля $\text{E}$, создаваемого точечным зарядом $\text{q}$ на расстоянии $\text{r}$ в среде с диэлектрической проницаемостью $\epsilon$, определяется по формуле:

$E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0\epsilon} \frac{|q|}{r^2}$

где $\epsilon_0$ — электрическая постоянная.

Напряженность поля в воздухе на расстоянии $r_1$:

$E_1 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0\epsilon_1} \frac{|q|}{r_1^2}$

Напряженность поля в керосине на расстоянии $r_2$:

$E_2 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0\epsilon_2} \frac{|q|}{r_2^2}$

Согласно условию задачи, напряженности полей равны: $E_1 = E_2$.

$\frac{1}{4\pi\epsilon_0\epsilon_1} \frac{|q|}{r_1^2} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0\epsilon_2} \frac{|q|}{r_2^2}$

Сократив общие множители, получаем:

$\frac{1}{\epsilon_1 r_1^2} = \frac{1}{\epsilon_2 r_2^2}$

Из этого соотношения выразим искомое расстояние $r_2$:

$\epsilon_2 r_2^2 = \epsilon_1 r_1^2$

$r_2^2 = \frac{\epsilon_1}{\epsilon_2} r_1^2$

$r_2 = r_1 \sqrt{\frac{\epsilon_1}{\epsilon_2}}$

Подставим числовые значения:

$r_2 = 29 \text{ см} \cdot \sqrt{\frac{1}{2.1}} \approx 29 \cdot \sqrt{0.476} \approx 29 \cdot 0.69 \approx 20.01$ см.

Округлим результат до двух значащих цифр.

Ответ: На расстоянии примерно 20 см.

2. Металлический шар радиусом 10 см, заряженный до потенциала 50 В, окружают концентрической проводящей сферой радиусом 20 см. Чему станет равен потенциал шара, если сферу заземлить?

Дано:

$R_1 = 10$ см (радиус шара)

$\phi_1 = 50$ В (начальный потенциал шара)

$R_2 = 20$ см (радиус внешней сферы)

Перевод в СИ:

$R_1 = 0.1$ м

$R_2 = 0.2$ м

Найти:

$\phi'_1$ (конечный потенциал шара)

Решение:

Сначала определим заряд $\text{q}$ на шаре до того, как его окружили сферой. Потенциал уединенного проводящего шара радиусом $R_1$ связан с его зарядом $\text{q}$ формулой:

$\phi_1 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{R_1} = k \frac{q}{R_1}$

Отсюда заряд шара равен:

$q = \frac{\phi_1 R_1}{k}$

Так как шар изолирован, его заряд $\text{q}$ не изменяется после того, как его окружают сферой.

Когда шар окружают заземленной проводящей сферой, образуется сферический конденсатор. Потенциал внешней сферы становится равным нулю ($\phi_2 = 0$), так как она заземлена. Новый потенциал внутреннего шара $\phi'_1$ будет равен разности потенциалов между обкладками этого конденсатора.

Потенциал поля внутри заземленной сферы создается зарядом $\text{q}$ внутреннего шара и индуцированным зарядом $-q$ на внутренней поверхности внешней сферы. Потенциал в точке, находящейся на расстоянии $R_1$ от центра, равен:

$\phi'_1 = \phi_{\text{от заряда } q} + \phi_{\text{от заряда } -q} = k\frac{q}{R_1} + k\frac{-q}{R_2} = kq \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$

Теперь подставим в это выражение ранее найденное выражение для заряда $q = \frac{\phi_1 R_1}{k}$:

$\phi'_1 = k \left( \frac{\phi_1 R_1}{k} \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = \phi_1 R_1 \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$

$\phi'_1 = \phi_1 \left( \frac{R_1}{R_1} - \frac{R_1}{R_2} \right) = \phi_1 \left( 1 - \frac{R_1}{R_2} \right)$

Подставим числовые значения:

$\phi'_1 = 50 \text{ В} \cdot \left( 1 - \frac{10 \text{ см}}{20 \text{ см}} \right) = 50 \cdot (1 - 0.5) = 50 \cdot 0.5 = 25$ В.

Ответ: Потенциал шара станет равен 25 В.