Вариант 5, страница 87 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

СР-28. Диэлектрики и проводники в электростатическом поле. Самостоятельные работы - страница 87.

Условие.

Вариант 5

1. Два заряженных шарика, подвешенные на нитях одинаковой длины, опускают в керосин с диэлектрической проницаемостью 2,1. Какой должна быть плотность материала шариков, чтобы угол расхождения в воздухе и в керосине был один и тот же?

2. Сто одинаковых шарообразных капелек ртути одноименно заряжены до одного и того же потенциала 3 В. Каков будет потенциал большой капли ртути, получившейся в результате слияния этих капель?

Решение.

1. Дано:

Диэлектрическая проницаемость керосина, $\epsilon = 2,1$
Плотность керосина (справочное значение), $\rho_k = 800 \text{ кг/м}^3$

Найти:

Плотность материала шариков, $\rho$

Решение:

Рассмотрим силы, действующие на один из шариков в состоянии равновесия. Пусть $\text{q}$ – заряд каждого шарика, $\text{m}$ – его масса, $\text{l}$ – длина нити, $\alpha$ – полный угол расхождения. Угол отклонения каждой нити от вертикали будет $\alpha/2$. Расстояние между шариками $r = 2l \sin(\alpha/2)$.

Случай 1: Шарики в воздухе.
На шарик действуют три силы: сила тяжести $F_g = mg$, сила натяжения нити $T_1$ и сила кулоновского отталкивания $F_{e1}$. Диэлектрическую проницаемость воздуха принимаем равной 1.

$F_{e1} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q^2}{r^2}$

В состоянии равновесия запишем условия для проекций сил на оси:
Вертикальная ось: $T_1 \cos(\alpha/2) = F_g$
Горизонтальная ось: $T_1 \sin(\alpha/2) = F_{e1}$

Разделив второе уравнение на первое, получим:
$\tan(\alpha/2) = \frac{F_{e1}}{F_g}$ (1)

Случай 2: Шарики в керосине.
К действующим силам добавляется выталкивающая сила Архимеда $F_A$, направленная вверх, а сила кулоновского взаимодействия ослабевает в $\epsilon$ раз.

Сила Кулона в керосине: $F_{e2} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0\epsilon} \frac{q^2}{r^2} = \frac{F_{e1}}{\epsilon}$
Сила тяжести: $F_g = \rho V g$, где $\rho$ – искомая плотность материала шариков, $\text{V}$ – их объём.
Сила Архимеда: $F_A = \rho_k V g$, где $\rho_k$ – плотность керосина.

В состоянии равновесия:
Вертикальная ось: $T_2 \cos(\alpha/2) = F_g - F_A$
Горизонтальная ось: $T_2 \sin(\alpha/2) = F_{e2}$

Разделив второе уравнение на первое, получим:
$\tan(\alpha/2) = \frac{F_{e2}}{F_g - F_A}$ (2)

По условию задачи, угол расхождения $\alpha$ в воздухе и в керосине одинаков. Следовательно, мы можем приравнять правые части уравнений (1) и (2):
$\frac{F_{e1}}{F_g} = \frac{F_{e2}}{F_g - F_A}$

Подставим выражения для сил:
$\frac{F_{e1}}{\rho V g} = \frac{F_{e1}/\epsilon}{(\rho - \rho_k) V g}$

Сократим общие множители $F_{e1}$, $\text{V}$ и $\text{g}$:
$\frac{1}{\rho} = \frac{1/\epsilon}{\rho - \rho_k}$
$\frac{1}{\rho} = \frac{1}{\epsilon(\rho - \rho_k)}$

Отсюда выразим $\rho$:
$\epsilon(\rho - \rho_k) = \rho$
$\epsilon\rho - \epsilon\rho_k = \rho$
$\epsilon\rho - \rho = \epsilon\rho_k$
$\rho(\epsilon - 1) = \epsilon\rho_k$
$\rho = \frac{\epsilon \rho_k}{\epsilon - 1}$

Подставим числовые значения:
$\rho = \frac{2,1 \cdot 800 \text{ кг/м}^3}{2,1 - 1} = \frac{1680}{1,1} \approx 1527,3 \text{ кг/м}^3$

Ответ: плотность материала шариков должна быть приблизительно $1527,3 \text{ кг/м}^3$.

2. Дано:

Количество капелек, $N = 100$
Потенциал каждой маленькой капельки, $\phi_1 = 3 \text{ В}$

Найти:

Потенциал большой капли, $\phi_2$

Решение:

Потенциал уединенного шарообразного проводника радиусом $\text{R}$ с зарядом $\text{Q}$ определяется по формуле:
$\phi = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{R}$

Для одной маленькой капельки ртути радиусом $r_1$ и зарядом $q_1$:
$\phi_1 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_1}{r_1}$

При слиянии $\text{N}$ одинаковых капелек в одну большую, общий заряд и общий объём сохраняются.

1. Закон сохранения заряда:
Заряд большой капли $q_2$ равен сумме зарядов маленьких капелек:
$q_2 = N q_1$

2. Сохранение объёма:
Объём большой капли $V_2$ равен сумме объёмов маленьких капелек. Объём шара $V = \frac{4}{3}\pi r^3$.
$V_2 = N V_1$
$\frac{4}{3}\pi r_2^3 = N \cdot \frac{4}{3}\pi r_1^3$
$r_2^3 = N r_1^3$
$r_2 = N^{1/3} r_1$

Теперь найдём потенциал большой капли $\phi_2$ радиусом $r_2$ и зарядом $q_2$:
$\phi_2 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_2}{r_2}$

Подставим выражения для $q_2$ и $r_2$:
$\phi_2 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{N q_1}{N^{1/3} r_1} = \frac{N}{N^{1/3}} \left( \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_1}{r_1} \right)$

Выражение в скобках равно потенциалу маленькой капельки $\phi_1$.
$\phi_2 = N^{1 - 1/3} \phi_1 = N^{2/3} \phi_1$

Подставим числовые значения:
$\phi_2 = 100^{2/3} \cdot 3 \text{ В} = (10^2)^{2/3} \cdot 3 \text{ В} = 10^{4/3} \cdot 3 \text{ В} \approx 21,544 \cdot 3 \text{ В} \approx 64,63 \text{ В}$

Ответ: потенциал большой капли ртути будет приблизительно $64,6 \text{ В}$.