Вариант 1, страница 89 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

КР-1. Прямолинейное движение. Контрольные работы - страница 89.

Условие.

КР-1. Прямолинейное движение

Вариант 1

I

1. Сколько времени пассажир, сидящий у окна поезда, идущего со скоростью 54 $ \text{км/ч} $, будет видеть проходящий мимо него встречный поезд, скорость которого 36 $ \text{км/ч} $? Длина поезда 250 м.

2. Автомобиль движется со скоростью 72 $ \text{км/ч} $. Определите ускорение автомобиля, если через 20 с он остановится.

3. За какое время автомобиль, двигаясь из состояния покоя с ускорением 0,6 $ \text{м/с}^2 $, пройдет 30 м?

II

4. Теплоход проходит расстояние между двумя городами вверх по течению реки за 80 ч, а вниз по течению за 60 ч. Определите время, за которое расстояние между городами проплывет плот.

5. При взлете самолет за 40 с приобретает скорость 300 $ \text{км/ч} $. Какова длина взлетной полосы?

6. Определите начальную скорость тела, которое, двигаясь с ускорением 2 $ \text{м/с}^2 $, за 5 с проходит путь, равный 125 м.

III

7. Эскалатор метро поднимает неподвижно стоящего на нем пассажира за 1 мин. По неподвижному эскалатору пассажир поднимается за 3 мин. Сколько времени будет подниматься идущий пассажир по движущемуся эскалатору?

8. Мяч, скатываясь с наклонной плоскости из состояния покоя, за первую секунду прошел путь 15 см. Определите путь, пройденный мячом за 2 с.

9. Тело движется равномерно со скоростью 3 $ \text{м/с} $ в течение 20 с, затем в течение 15 с движется с ускорением 0,2 $ \text{м/с}^2 $ и останавливается. Найдите путь, пройденный телом за все время движения.

Решение.

1. Сколько времени пассажир, сидящий у окна поезда, идущего со скоростью 54 км/ч, будет видеть проходящий мимо него встречный поезд, скорость которого 36 км/ч? Длина поезда 250 м.

Дано:

Скорость первого поезда $v_1 = 54$ км/ч
Скорость встречного поезда $v_2 = 36$ км/ч
Длина встречного поезда $L = 250$ м

$v_1 = 54 \frac{км}{ч} = 54 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 15 \text{ м/с}$
$v_2 = 36 \frac{км}{ч} = 36 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 10 \text{ м/с}$

Найти:

Время $\text{t}$

Решение:

Так как поезда движутся навстречу друг другу, их относительная скорость $v_{отн}$ равна сумме их скоростей. Пассажир неподвижен относительно своего поезда, поэтому он видит встречный поезд, движущийся со скоростью, равной относительной скорости поездов.

$v_{отн} = v_1 + v_2 = 15 \text{ м/с} + 10 \text{ м/с} = 25 \text{ м/с}$.

Время, в течение которого пассажир будет видеть встречный поезд, определяется как время, за которое поезд длиной $\text{L}$ пройдет мимо точки наблюдения (пассажира) с относительной скоростью $v_{отн}$.

$t = \frac{L}{v_{отн}} = \frac{250 \text{ м}}{25 \text{ м/с}} = 10 \text{ с}$.

Ответ: 10 с.

2. Автомобиль движется со скорость 72 км/ч. Определите ускорение автомобиля, если через 20 с он остановится.

Дано:

Начальная скорость $v_0 = 72$ км/ч
Время торможения $t = 20$ с
Конечная скорость $v = 0$ м/с

$v_0 = 72 \frac{км}{ч} = 72 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 20 \text{ м/с}$

Найти:

Ускорение $\text{a}$

Решение:

Ускорение при равноускоренном (в данном случае, равнозамедленном) движении определяется формулой:

$a = \frac{v - v_0}{t}$

Подставим значения:

$a = \frac{0 \text{ м/с} - 20 \text{ м/с}}{20 \text{ с}} = -1 \text{ м/с}^2$.

Знак "минус" указывает на то, что ускорение направлено против начальной скорости, то есть это торможение.

Ответ: -1 м/с².

3. За какое время автомобиль, двигаясь из состояния покоя с ускорением 0,6 м/с², пройдет 30 м?

Дано:

Начальная скорость $v_0 = 0$ м/с
Ускорение $a = 0,6$ м/с²
Путь $S = 30$ м

Найти:

Время $\text{t}$

Решение:

При равноускоренном движении из состояния покоя пройденный путь определяется формулой:

$S = v_0 t + \frac{at^2}{2}$

Поскольку $v_0 = 0$, формула упрощается:

$S = \frac{at^2}{2}$

Выразим из этой формулы время $\text{t}$:

$t = \sqrt{\frac{2S}{a}}$

Подставим значения:

$t = \sqrt{\frac{2 \cdot 30 \text{ м}}{0,6 \text{ м/с}^2}} = \sqrt{\frac{60}{0,6}} \text{ с} = \sqrt{100} \text{ с} = 10 \text{ с}$.

Ответ: 10 с.

4. Теплоход проходит расстояние между двумя городами вверх по течению реки за 80 ч, а вниз по течению за 60 ч. Определите время, за которое расстояние между городами проплывет плот.

Дано:

Время движения вверх по течению $t_{вверх} = 80$ ч
Время движения вниз по течению $t_{вниз} = 60$ ч

Найти:

Время движения плота $t_{плот}$

Решение:

Обозначим расстояние между городами как $\text{S}$, собственную скорость теплохода как $v_{т}$, а скорость течения реки как $v_{р}$. Плот движется со скоростью течения реки.

Скорость теплохода при движении вверх по течению равна $v_{т} - v_{р}$, а вниз по течению — $v_{т} + v_{р}$.

Запишем уравнения для расстояния: $S = (v_{т} - v_{р}) \cdot t_{вверх}$ и $S = (v_{т} + v_{р}) \cdot t_{вниз}$.

Время, за которое плот проплывет расстояние $\text{S}$, равно $t_{плот} = \frac{S}{v_{р}}$.

Из уравнений для расстояния выразим скорости: $v_{т} - v_{р} = \frac{S}{t_{вверх}}$ и $v_{т} + v_{р} = \frac{S}{t_{вниз}}$.

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы исключить $v_{т}$:

$(v_{т} + v_{р}) - (v_{т} - v_{р}) = \frac{S}{t_{вниз}} - \frac{S}{t_{вверх}}$

$2v_{р} = S \cdot (\frac{1}{t_{вниз}} - \frac{1}{t_{вверх}}) = S \cdot \frac{t_{вверх} - t_{вниз}}{t_{вниз} \cdot t_{вверх}}$

Выразим искомое время $t_{плот} = \frac{S}{v_{р}}$:

$t_{плот} = \frac{S}{v_{р}} = \frac{2 \cdot t_{вниз} \cdot t_{вверх}}{t_{вверх} - t_{вниз}}$

$t_{плот} = \frac{2 \cdot 60 \text{ ч} \cdot 80 \text{ ч}}{80 \text{ ч} - 60 \text{ ч}} = \frac{9600}{20} \text{ ч} = 480 \text{ ч}$.

Ответ: 480 ч.

5. При взлете самолет за 40 с приобретает скорость 300 км/ч. Какова длина взлетной полосы?

Дано:

Время разгона $t = 40$ с
Конечная скорость $v = 300$ км/ч
Начальная скорость $v_0 = 0$ м/с

$v = 300 \frac{км}{ч} = 300 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{250}{3} \text{ м/с}$

Найти:

Длина взлетной полосы $\text{S}$

Решение:

Движение самолета при взлете можно считать равноускоренным из состояния покоя. Для нахождения пути (длины взлетной полосы) используем формулу средней скорости:

$S = \frac{v_0 + v}{2} \cdot t$

Подставим значения:

$S = \frac{0 \text{ м/с} + \frac{250}{3} \text{ м/с}}{2} \cdot 40 \text{ с} = \frac{250}{6} \text{ м/с} \cdot 40 \text{ с} = \frac{10000}{6} \text{ м} = \frac{5000}{3} \text{ м}$.

$\frac{5000}{3} \text{ м} \approx 1667 \text{ м}$.

Ответ: $\frac{5000}{3}$ м (приблизительно 1667 м).

6. Определите начальную скорость тела, которое, двигаясь с ускорением 2 м/с², за 5 с проходит путь, равный 125 м.

Дано:

Ускорение $a = 2$ м/с²
Время $t = 5$ с
Путь $S = 125$ м

Найти:

Начальная скорость $v_0$

Решение:

Для равноускоренного движения формула пути имеет вид:

$S = v_0 t + \frac{at^2}{2}$

Выразим из этой формулы начальную скорость $v_0$:

$v_0 = \frac{S}{t} - \frac{at}{2}$

Подставим числовые значения:

$v_0 = \frac{125 \text{ м}}{5 \text{ с}} - \frac{2 \text{ м/с}^2 \cdot 5 \text{ с}}{2} = 25 \text{ м/с} - 5 \text{ м/с} = 20 \text{ м/с}$.

Ответ: 20 м/с.

7. Эскалатор метро поднимает неподвижно стоящего на нем пассажира за 1 мин. По неподвижному эскалатору пассажир поднимается за 3 мин. Сколько времени будет подниматься идущий пассажир по движущемуся эскалатору?

Дано:

Время подъема на эскалаторе $t_э = 1$ мин
Время подъема по неподвижному эскалатору $t_п = 3$ мин

$t_э = 1 \text{ мин} = 60 \text{ с}$
$t_п = 3 \text{ мин} = 180 \text{ с}$

Найти:

Общее время подъема $t_{общ}$

Решение:

Пусть $\text{L}$ - длина эскалатора, $v_э$ - скорость эскалатора, $v_п$ - скорость пассажира.

Скорость эскалатора $v_э = \frac{L}{t_э}$. Скорость пассажира $v_п = \frac{L}{t_п}$.

Когда пассажир идет по движущемуся эскалатору, их скорости складываются: $v_{общ} = v_э + v_п$.

Время подъема $t_{общ} = \frac{L}{v_{общ}} = \frac{L}{v_э + v_п} = \frac{L}{\frac{L}{t_э} + \frac{L}{t_п}} = \frac{1}{\frac{1}{t_э} + \frac{1}{t_п}}$.

$t_{общ} = \frac{t_э \cdot t_п}{t_э + t_п}$

Подставим значения в минутах:

$t_{общ} = \frac{1 \text{ мин} \cdot 3 \text{ мин}}{1 \text{ мин} + 3 \text{ мин}} = \frac{3}{4} \text{ мин} = 0,75 \text{ мин}$.

$0,75 \text{ мин} = 0,75 \cdot 60 \text{ с} = 45 \text{ с}$.

Ответ: 45 с.

8. Мяч, скатываясь с наклонной плоскости из состояния покоя, за первую секунду прошел путь 15 см. Определите путь, пройденный мячом за 2 с.

Дано:

Начальная скорость $v_0 = 0$ м/с
Путь за первую секунду $S_{1с} = 15$ см
Общее время движения $t = 2$ с

$S_{1с} = 15 \text{ см} = 0,15 \text{ м}$

Найти:

Путь за 2 секунды $S_{2с}$

Решение:

При равноускоренном движении из состояния покоя путь пропорционален квадрату времени: $S = \frac{at^2}{2}$.

Следовательно, мы можем составить пропорцию:

$\frac{S_{2с}}{S_{1с}} = \frac{t^2}{(1 \text{ с})^2} = \frac{(2 \text{ с})^2}{(1 \text{ с})^2} = 4$.

Отсюда, путь за 2 секунды:

$S_{2с} = 4 \cdot S_{1с} = 4 \cdot 15 \text{ см} = 60 \text{ см}$.

Ответ: 60 см.

9. Тело движется равномерно со скоростью 3 м/с в течение 20 с, затем в течение 15 с движется с ускорением 0,2 м/с² и останавливается. Найдите путь, пройденный телом за все время движения.

Дано:

Этап 1 (равномерное движение):
Скорость $v_1 = 3$ м/с
Время $t_1 = 20$ с

Этап 2 (равнозамедленное движение):
Начальная скорость $v_{0,2} = 3$ м/с
Время $t_2 = 15$ с
Ускорение $a_2 = -0,2$ м/с²

Найти:

Общий путь $S_{общ}$

Решение:

Общий путь равен сумме путей, пройденных на каждом из двух этапов: $S_{общ} = S_1 + S_2$.

1. Путь на первом этапе (равномерное движение):

$S_1 = v_1 \cdot t_1 = 3 \text{ м/с} \cdot 20 \text{ с} = 60 \text{ м}$.

2. Путь на втором этапе (равнозамедленное движение):

Используем формулу $S_2 = v_{0,2} t_2 + \frac{a_2 t_2^2}{2}$.

$S_2 = 3 \text{ м/с} \cdot 15 \text{ с} + \frac{(-0,2 \text{ м/с}^2) \cdot (15 \text{ с})^2}{2} = 45 \text{ м} - \frac{0,2 \cdot 225}{2} \text{ м} = 45 \text{ м} - 22,5 \text{ м} = 22,5 \text{ м}$.

3. Общий путь:

$S_{общ} = S_1 + S_2 = 60 \text{ м} + 22,5 \text{ м} = 82,5 \text{ м}$.

Ответ: 82,5 м.