Вариант 4, страница 92 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

КР-1. Прямолинейное движение. Контрольные работы - страница 92.

Условие.

Вариант 4

I

1. Из двух городов, расстояние между которыми равно 120 км, одновременно навстречу друг другу выехали два автобуса, скорости которых постоянны и равны соответственно 20 км/ч и 60 км/ч. Через какое время встретятся автобусы?

2. Определите время, за которое трамвай развивает скорость 36 км/ч, трогаясь с места с ускорением $0,2 \text{ м}/\text{с}^2$.

3. Велосипедист, движущийся со скоростью 3 м/с, начинает спускаться с горы с ускорением $0,8 \text{ м}/\text{с}^2$. Найдите длину горы, если спуск занял 6 с.

II

4. Моторная лодка проходит расстояние между двумя пунктами по течению реки за 3 ч, а плот — за 12 ч. Сколько времени моторная лодка затратит на обратный путь?

5. Определите время, за которое троллейбус, двигаясь из состояния покоя, на пути 500 м приобрел скорость 54 км/ч.

6. Двигаясь от остановки, тело достигло скорости 50 м/с, пройдя путь 50 м. Чему равно ускорение, с которым двигалось тело?

III

7. Скорость поезда на подъеме равна 30 км/ч, а на спуске — 90 км/ч. Определите среднюю скорость на всем участке пути, если спуск в 2 раза длиннее подъема.

8. За последнюю (пятую) секунду равнозамедленного движения тело проходит 5 м и останавливается. Чему равен путь, пройденный телом за третью секунду?

9. Расстояние 1,8 км между двумя станциями метро поезд проходит со средней скоростью 54 км/ч. На участке разгона он движется равноускоренно в течение 40 с, затем едет равномерно, после чего равнозамедленно в течение 20 с до полной остановки. Определите наибольшую скорость поезда.

Решение.

1. Дано:

$S = 120 \text{ км}$

$v_1 = 20 \text{ км/ч}$

$v_2 = 60 \text{ км/ч}$

Найти:

$\text{t}$

Решение:

Поскольку автобусы движутся навстречу друг другу, их скорость сближения равна сумме их скоростей:

$v_{сбл} = v_1 + v_2 = 20 \text{ км/ч} + 60 \text{ км/ч} = 80 \text{ км/ч}$

Время, через которое автобусы встретятся, можно найти, разделив начальное расстояние на скорость сближения:

$t = \frac{S}{v_{сбл}} = \frac{120 \text{ км}}{80 \text{ км/ч}} = 1,5 \text{ ч}$

Ответ: 1,5 ч.

2. Дано:

$v_0 = 0 \text{ м/с}$ (трогается с места)

$v = 36 \text{ км/ч}$

$a = 0,2 \text{ м/с²}$

Перевод в СИ:

$v = 36 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 36 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 10 \text{ м/с}$

Найти:

$\text{t}$

Решение:

Используем формулу скорости для равноускоренного движения: $v = v_0 + at$.

Так как трамвай трогается с места, его начальная скорость $v_0 = 0$. Формула упрощается до $v = at$.

Выразим время $\text{t}$ из формулы:

$t = \frac{v}{a} = \frac{10 \text{ м/с}}{0,2 \text{ м/с²}} = 50 \text{ с}$

Ответ: 50 с.

3. Дано:

$v_0 = 3 \text{ м/с}$

$a = 0,8 \text{ м/с²}$

$t = 6 \text{ с}$

Найти:

$\text{S}$ (длина горы)

Решение:

Длину горы (пройденный путь) найдем по формуле пути для равноускоренного движения:

$S = v_0 t + \frac{at^2}{2}$

Подставим известные значения в формулу:

$S = (3 \text{ м/с} \cdot 6 \text{ с}) + \frac{0,8 \text{ м/с²} \cdot (6 \text{ с})^2}{2} = 18 \text{ м} + \frac{0,8 \cdot 36}{2} \text{ м} = 18 \text{ м} + 14,4 \text{ м} = 32,4 \text{ м}$

Ответ: 32,4 м.

4. Дано:

$t_{по течению} = 3 \text{ ч}$

$t_{плота} = 12 \text{ ч}$

Найти:

$t_{против течения}$

Решение:

Пусть $\text{S}$ - расстояние между пунктами, $v_л$ - собственная скорость лодки, $v_т$ - скорость течения реки.

Скорость плота равна скорости течения, поэтому $v_т = \frac{S}{t_{плота}} = \frac{S}{12}$.

Скорость лодки по течению равна $v_л + v_т$. Время в пути: $t_{по течению} = \frac{S}{v_л + v_т} = 3 \text{ ч}$.

Подставим выражение для $v_т$: $3 = \frac{S}{v_л + S/12}$.

Отсюда найдем $v_л$: $3(v_л + \frac{S}{12}) = S \Rightarrow 3v_л + \frac{3S}{12} = S \Rightarrow 3v_л = S - \frac{S}{4} \Rightarrow 3v_л = \frac{3S}{4} \Rightarrow v_л = \frac{S}{4}$.

Время на обратный путь (против течения) равно $t_{против течения} = \frac{S}{v_л - v_т}$.

Подставим найденные значения $v_л$ и $v_т$:

$t_{против течения} = \frac{S}{\frac{S}{4} - \frac{S}{12}} = \frac{S}{\frac{3S - S}{12}} = \frac{S}{\frac{2S}{12}} = \frac{S}{\frac{S}{6}} = 6 \text{ ч}$

Ответ: 6 ч.

5. Дано:

$v_0 = 0$ (из состояния покоя)

$S = 500 \text{ м}$

$v = 54 \text{ км/ч}$

Перевод в СИ:

$v = 54 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 54 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 15 \text{ м/с}$

Найти:

$\text{t}$

Решение:

При равноускоренном движении из состояния покоя путь можно выразить через конечную скорость и время: $S = \frac{v_0 + v}{2} t = \frac{v}{2} t$.

Выразим время из этой формулы:

$t = \frac{2S}{v} = \frac{2 \cdot 500 \text{ м}}{15 \text{ м/с}} = \frac{1000}{15} \text{ с} = \frac{200}{3} \text{ с} \approx 66,7 \text{ с}$

Ответ: ≈ 66,7 с.

6. Дано:

$v_0 = 0$ (от остановки)

$v = 50 \text{ м/с}$

$S = 50 \text{ м}$

Найти:

$\text{a}$

Решение:

Воспользуемся формулой для пути при равноускоренном движении, не содержащей времени: $S = \frac{v^2 - v_0^2}{2a}$.

Поскольку начальная скорость $v_0 = 0$, формула принимает вид $S = \frac{v^2}{2a}$.

Выразим из нее ускорение $\text{a}$:

$a = \frac{v^2}{2S} = \frac{(50 \text{ м/с})^2}{2 \cdot 50 \text{ м}} = \frac{2500 \text{ м²/с²}}{100 \text{ м}} = 25 \text{ м/с²}$

Ответ: 25 м/с².

7. Дано:

$v_1 = 30 \text{ км/ч}$ (на подъеме)

$v_2 = 90 \text{ км/ч}$ (на спуске)

$S_2 = 2S_1$

Найти:

$v_{ср}$

Решение:

Средняя скорость вычисляется по формуле $v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$.

Пусть длина подъема $S_1 = L$, тогда длина спуска $S_2 = 2L$.

Общий путь: $S_{общ} = S_1 + S_2 = L + 2L = 3L$.

Время на подъеме: $t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{L}{30}$.

Время на спуске: $t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{2L}{90} = \frac{L}{45}$.

Общее время: $t_{общ} = t_1 + t_2 = \frac{L}{30} + \frac{L}{45} = \frac{3L + 2L}{90} = \frac{5L}{90} = \frac{L}{18}$.

Найдем среднюю скорость:

$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}} = \frac{3L}{L/18} = 3 \cdot 18 = 54 \text{ км/ч}$

Ответ: 54 км/ч.

8. Дано:

Движение равнозамедленное.

Общее время движения $T = 5 \text{ с}$.

Путь за пятую секунду $\Delta S_5 = 5 \text{ м}$.

Конечная скорость $v_к = 0$.

Найти:

$\Delta S_3$

Решение:

Путь, пройденный телом за n-ю секунду, определяется формулой $\Delta S_n = v_0 + a(n - 0,5)$. Для равнозамедленного движения ускорение $\text{a}$ будет отрицательным. Обозначим модуль замедления как $a'$, тогда $\Delta S_n = v_0 - a'(n - 0,5)$.

Конечная скорость через 5 секунд равна нулю: $v_к = v_0 - a'T \Rightarrow 0 = v_0 - a' \cdot 5 \Rightarrow v_0 = 5a'$.

Путь за пятую секунду: $\Delta S_5 = v_0 - a'(5 - 0,5) = v_0 - 4,5a' = 5 \text{ м}$.

Подставим выражение для $v_0$: $5a' - 4,5a' = 5 \Rightarrow 0,5a' = 5 \Rightarrow a' = 10 \text{ м/с²}$.

Начальная скорость: $v_0 = 5 \cdot 10 = 50 \text{ м/с}$.

Теперь найдем путь, пройденный за третью секунду:

$\Delta S_3 = v_0 - a'(3 - 0,5) = 50 - 10 \cdot 2,5 = 50 - 25 = 25 \text{ м}$.

Ответ: 25 м.

9. Дано:

$S_{общ} = 1,8 \text{ км}$

$v_{ср} = 54 \text{ км/ч}$

$t_1 = 40 \text{ с}$ (время разгона)

$t_3 = 20 \text{ с}$ (время торможения)

Перевод в СИ:

$S_{общ} = 1,8 \text{ км} = 1800 \text{ м}$

$v_{ср} = 54 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 54 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 15 \text{ м/с}$

Найти:

$v_{max}$

Решение:

1. Общее время движения поезда: $t_{общ} = \frac{S_{общ}}{v_{ср}} = \frac{1800 \text{ м}}{15 \text{ м/с}} = 120 \text{ с}$.

2. Общее время состоит из времени разгона ($t_1$), равномерного движения ($t_2$) и торможения ($t_3$). Найдем время равномерного движения:

$t_2 = t_{общ} - t_1 - t_3 = 120 \text{ с} - 40 \text{ с} - 20 \text{ с} = 60 \text{ с}$.

3. Общий путь - это сумма путей на трех участках. Выразим каждый путь через максимальную скорость $v_{max}$:

Путь разгона (от 0 до $v_{max}$): $S_1 = \frac{0 + v_{max}}{2}t_1 = \frac{v_{max}}{2} \cdot 40 = 20v_{max}$.

Путь равномерного движения: $S_2 = v_{max} \cdot t_2 = v_{max} \cdot 60 = 60v_{max}$.

Путь торможения (от $v_{max}$ до 0): $S_3 = \frac{v_{max} + 0}{2}t_3 = \frac{v_{max}}{2} \cdot 20 = 10v_{max}$.

4. Сложим пути и приравняем к общему расстоянию:

$S_{общ} = S_1 + S_2 + S_3$

$1800 = 20v_{max} + 60v_{max} + 10v_{max}$

$1800 = 90v_{max}$

5. Найдем максимальную скорость:

$v_{max} = \frac{1800}{90} = 20 \text{ м/с}$.

Переведем в км/ч для наглядности: $20 \text{ м/с} = 20 \cdot 3,6 = 72 \text{ км/ч}$.

Ответ: 20 м/с (или 72 км/ч).