Вариант 3, страница 99 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

КР-3. Кинематика периодического движения. Контрольные работы - страница 99.

Условие.

Вариант 3

I

1. Вычислите центростремительное ускорение искусственного спутника Земли, движущегося на высоте 600 км над земной поверхностью по круговой орбите с линейной скоростью 8 км/с. Радиус Земли принять равным 6400 км.

2. Найдите период и частоту вращения минутной стрелки часов.

II

3. Чему равна скорость велосипедиста, если колесо велосипеда делает 100 оборотов в минуту, а его радиус равен 40 см?

4. Частица совершает гармонические колебания по закону $x = 5 \cos \frac{\pi}{3} t$ см. Определите координату частицы, модуль ее скорости и ускорения в момент времени $t = 3$ с.

III

5. Во сколько раз изменяется скорость движения спутника на орбите, если при уменьшении в 2 раза радиуса круговой орбиты период его обращения уменьшается в 4 раза?

6. Две материальные точки движутся по окружностям радиусами $R_1$ и $R_2$, причем $R_1 = 2R_2$. Сравните их центростремительные ускорения, если равны их периоды обращения.

Решение.

1. Дано:

$h = 600 \text{ км} = 600 \times 10^3 \text{ м} = 0.6 \times 10^6 \text{ м}$
$v = 8 \text{ км/с} = 8 \times 10^3 \text{ м/с}$
$R_З = 6400 \text{ км} = 6400 \times 10^3 \text{ м} = 6.4 \times 10^6 \text{ м}$

Найти: $a_ц$

Решение

Центростремительное ускорение вычисляется по формуле: $a_ц = \frac{v^2}{r}$, где $\text{v}$ — линейная скорость спутника, а $\text{r}$ — радиус его орбиты.

Радиус орбиты спутника равен сумме радиуса Земли $R_З$ и высоты спутника над поверхностью Земли $\text{h}$: $r = R_З + h$

Подставим числовые значения в систему СИ: $r = 6.4 \times 10^6 \text{ м} + 0.6 \times 10^6 \text{ м} = 7.0 \times 10^6 \text{ м}$.

Теперь вычислим центростремительное ускорение: $a_ц = \frac{(8 \times 10^3 \text{ м/с})^2}{7 \times 10^6 \text{ м}} = \frac{64 \times 10^6 \text{ м}^2/\text{с}^2}{7 \times 10^6 \text{ м}} = \frac{64}{7} \text{ м/с}^2 \approx 9.14 \text{ м/с}^2$.

Ответ: $a_ц \approx 9.14 \text{ м/с}^2$.

2. Решение

Период вращения $\text{T}$ — это время, за которое тело совершает один полный оборот. Минутная стрелка часов совершает один полный оборот за 60 минут.

Переведем период в систему СИ (секунды): $T = 60 \text{ мин} = 60 \times 60 \text{ с} = 3600 \text{ с}$.

Частота вращения $\nu$ — это величина, обратная периоду. Она показывает, сколько оборотов совершает тело за единицу времени. $\nu = \frac{1}{T}$

Вычислим частоту: $\nu = \frac{1}{3600 \text{ с}} \approx 0.000278 \text{ Гц}$.

Ответ: Период $T = 3600$ с, частота $\nu \approx 0.000278$ Гц.

3. Дано:

$\nu = 100 \text{ об/мин} = \frac{100}{60} \text{ об/с} = \frac{5}{3} \text{ Гц}$
$R = 40 \text{ см} = 0.4 \text{ м}$

Найти: $\text{v}$

Решение

Скорость велосипедиста равна линейной скорости точек на ободе колеса (при условии отсутствия проскальзывания). Линейная скорость связана с угловой скоростью $\omega$ и радиусом $\text{R}$ соотношением: $v = \omega R$.

Угловая скорость, в свою очередь, связана с частотой вращения $\nu$: $\omega = 2\pi\nu$.

Объединив формулы, получаем: $v = 2\pi\nu R$.

Подставим значения, переведенные в систему СИ: $v = 2\pi \times \frac{5}{3} \text{ Гц} \times 0.4 \text{ м} = \frac{4\pi}{3} \text{ м/с}$.

Вычислим численное значение, приняв $\pi \approx 3.14$: $v \approx \frac{4 \times 3.14}{3} \approx \frac{12.56}{3} \approx 4.19 \text{ м/с}$.

Ответ: $v \approx 4.19 \text{ м/с}$.

4. Дано:

$x(t) = 5 \cos\left(\frac{\pi}{3}t\right)$ см
$t = 3$ с

Найти: $x(3)$, $|v(3)|$, $|a(3)|$

Решение

1. Координата частицы. Подставим значение времени $t=3$ с в уравнение движения: $x(3) = 5 \cos\left(\frac{\pi}{3} \times 3\right) = 5 \cos(\pi) = 5 \times (-1) = -5 \text{ см}$.

2. Скорость частицы. Скорость является первой производной координаты по времени: $v(t) = x'(t)$. $v(t) = \frac{d}{dt}\left(5 \cos\left(\frac{\pi}{3}t\right)\right) = -5 \sin\left(\frac{\pi}{3}t\right) \times \frac{\pi}{3} = -\frac{5\pi}{3} \sin\left(\frac{\pi}{3}t\right) \text{ см/с}$. Найдем скорость в момент времени $t=3$ с: $v(3) = -\frac{5\pi}{3} \sin\left(\frac{\pi}{3} \times 3\right) = -\frac{5\pi}{3} \sin(\pi) = -\frac{5\pi}{3} \times 0 = 0 \text{ см/с}$. Модуль скорости $|v(3)| = 0$ см/с.

3. Ускорение частицы. Ускорение является первой производной скорости по времени (или второй производной координаты): $a(t) = v'(t)$. $a(t) = \frac{d}{dt}\left(-\frac{5\pi}{3} \sin\left(\frac{\pi}{3}t\right)\right) = -\frac{5\pi}{3} \cos\left(\frac{\pi}{3}t\right) \times \frac{\pi}{3} = -\frac{5\pi^2}{9} \cos\left(\frac{\pi}{3}t\right) \text{ см/с}^2$. Найдем ускорение в момент времени $t=3$ с: $a(3) = -\frac{5\pi^2}{9} \cos\left(\frac{\pi}{3} \times 3\right) = -\frac{5\pi^2}{9} \cos(\pi) = -\frac{5\pi^2}{9} \times (-1) = \frac{5\pi^2}{9} \text{ см/с}^2$. Модуль ускорения $|a(3)| = \frac{5\pi^2}{9} \text{ см/с}^2 \approx 5.48 \text{ см/с}^2$.

Ответ: Координата $x = -5$ см, модуль скорости $|v| = 0$ см/с, модуль ускорения $|a| = \frac{5\pi^2}{9} \text{ см/с}^2 \approx 5.48 \text{ см/с}^2$.

5. Дано:

$R_2 = \frac{R_1}{2}$
$T_2 = \frac{T_1}{4}$

Найти: $\frac{v_2}{v_1}$

Решение

Линейная скорость движения по круговой орбите связана с радиусом орбиты $\text{R}$ и периодом обращения $\text{T}$ формулой: $v = \frac{2\pi R}{T}$.

Запишем это соотношение для начального (1) и конечного (2) состояний: $v_1 = \frac{2\pi R_1}{T_1}$
$v_2 = \frac{2\pi R_2}{T_2}$

Подставим в выражение для $v_2$ соотношения из условия задачи: $v_2 = \frac{2\pi (R_1/2)}{T_1/4} = \frac{2\pi R_1}{2} \times \frac{4}{T_1} = 2 \times \frac{2\pi R_1}{T_1}$.

Поскольку $\frac{2\pi R_1}{T_1} = v_1$, получаем: $v_2 = 2v_1$.

Следовательно, отношение скоростей равно: $\frac{v_2}{v_1} = 2$.

Ответ: Скорость движения спутника увеличится в 2 раза.

6. Дано:

$R_1 = 2R_2$
$T_1 = T_2 = T$

Найти: $\frac{a_1}{a_2}$

Решение

Центростремительное ускорение можно выразить через радиус орбиты $\text{R}$ и период обращения $\text{T}$. Исходная формула: $a = \frac{v^2}{R}$. Скорость: $v = \frac{2\pi R}{T}$.

Подставим выражение для скорости в формулу ускорения: $a = \frac{\left(\frac{2\pi R}{T}\right)^2}{R} = \frac{4\pi^2 R^2}{T^2 R} = \frac{4\pi^2 R}{T^2}$.

Запишем выражения для ускорений первой ($a_1$) и второй ($a_2$) точек: $a_1 = \frac{4\pi^2 R_1}{T_1^2}$
$a_2 = \frac{4\pi^2 R_2}{T_2^2}$

Найдем отношение ускорений: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{\frac{4\pi^2 R_1}{T_1^2}}{\frac{4\pi^2 R_2}{T_2^2}} = \frac{R_1}{R_2} \times \frac{T_2^2}{T_1^2}$.

Подставим в полученное выражение условия из задачи ($R_1 = 2R_2$ и $T_1 = T_2$): $\frac{a_1}{a_2} = \frac{2R_2}{R_2} \times \frac{T^2}{T^2} = 2$.

Таким образом, $a_1 = 2a_2$.

Ответ: Центростремительное ускорение первой точки в 2 раза больше центростремительного ускорения второй точки.