Вариант 1, страница 101 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

КР-4. Законы Ньютона. Контрольные работы - страница 101.

Условие.

КР-4. Законы Ньютона

Вариант 1

I

1. Определите, с каким наибольшим ускорением можно поднимать груз массой 120 кг, чтобы канат, выдерживающий максимальную нагрузку 2000 Н, не разорвался.

2. Чему равна сила трения, если после толчка вагон массой 20 т остановился через 50 с, пройдя расстояние 125 м?

II

3. К одному концу веревки, перекинутой через блок, подвешен груз массой 10 кг. С какой силой надо тянуть за другой конец веревки, чтобы груз поднимался с ускорением $2 \text{ м/с}^2$.

4. Определите минимальную скорость, при которой автомобиль успеет остановиться перед препятствием, если он начинает тормозить на расстоянии 25 м от препятствия, а коэффициент трения шин об асфальт равен 0,8.

III

5. На концах невесомой и нерастяжимой нити, перекинутой через блок, подвешены грузы, массы которых равны 600 г и 400 г. Определите скорость грузов через 2 с после того, как система будет предоставлена самой себе.

6. При помощи пружинного динамометра груз массой 10 кг движется с ускорением $5 \text{ м/с}^2$ по горизонтальной поверхности стола. Коэффициент трения груза о стол равен 0,1. Найдите удлинение пружины, если ее жесткость $2000 \text{ Н/м}$.

Решение.

1. Дано:

$m = 120$ кг
$T_{max} = 2000$ Н
$g \approx 10$ м/с²

Найти:

$a_{max}$

Решение:

На груз действуют две силы: сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вниз, и сила натяжения каната $\vec{T}$, направленная вверх. Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая этих сил сообщает грузу ускорение $\vec{a}$: $m\vec{a} = \vec{T} + m\vec{g}$.

Спроецируем уравнение на вертикальную ось, направленную вверх. Ускорение $\text{a}$ будет максимальным, когда сила натяжения каната $\text{T}$ достигнет своего максимального значения $T_{max}$: $ma_{max} = T_{max} - mg$.

Выразим из этого уравнения максимальное ускорение:

$a_{max} = \frac{T_{max} - mg}{m} = \frac{T_{max}}{m} - g$

Подставим числовые значения:

$a_{max} = \frac{2000 \text{ Н}}{120 \text{ кг}} - 10 \text{ м/с}^2 \approx 16.67 \text{ м/с}^2 - 10 \text{ м/с}^2 = 6.67 \text{ м/с}^2$.

Ответ: наибольшее ускорение равно примерно $6.67 \text{ м/с}^2$.

2. Дано:

$m = 20$ т = $20000$ кг
$t = 50$ с
$s = 125$ м
$v = 0$ м/с (конечная скорость)

Найти:

$F_{тр}$

Решение:

Вагон движется равнозамедленно под действием силы трения. Сначала найдем ускорение вагона, используя кинематические формулы. Так как известны путь, время и конечная скорость, воспользуемся системой уравнений:

$s = v_0 t + \frac{at^2}{2}$ и $v = v_0 + at$.

Из второго уравнения, так как $v=0$, выразим начальную скорость $v_0 = -at$. Подставим в первое уравнение:

$s = (-at)t + \frac{at^2}{2} = -at^2 + \frac{at^2}{2} = -\frac{at^2}{2}$.

Отсюда модуль ускорения $|a| = \frac{2s}{t^2}$.

$|a| = \frac{2 \times 125 \text{ м}}{(50 \text{ с})^2} = \frac{250 \text{ м}}{2500 \text{ с}^2} = 0.1 \text{ м/с}^2$.

Согласно второму закону Ньютона, сила трения равна произведению массы на ускорение, которое она сообщает:

$F_{тр} = m|a|$.

$F_{тр} = 20000 \text{ кг} \times 0.1 \text{ м/с}^2 = 2000 \text{ Н}$.

Ответ: сила трения равна $2000 \text{ Н}$.

3. Дано:

$m = 10$ кг
$a = 2$ м/с²
$g \approx 10$ м/с²

Найти:

$\text{F}$

Решение:

Сила, с которой нужно тянуть за веревку, равна силе натяжения веревки $\text{T}$. На груз действуют сила тяжести $mg$ вниз и сила натяжения $\text{T}$ вверх. Согласно второму закону Ньютона:

$m\vec{a} = \vec{T} + m\vec{g}$.

В проекции на вертикальную ось, направленную вверх:

$ma = T - mg$.

Отсюда выражаем искомую силу $T=F$:

$T = ma + mg = m(a + g)$.

$T = 10 \text{ кг} \times (2 \text{ м/с}^2 + 10 \text{ м/с}^2) = 10 \text{ кг} \times 12 \text{ м/с}^2 = 120 \text{ Н}$.

Ответ: тянуть за веревку надо с силой $120 \text{ Н}$.

4. Дано:

$s = 25$ м
$\mu = 0.8$
$v = 0$ м/с (конечная скорость)
$g \approx 10$ м/с²

Найти:

$v_0$

Решение:

При торможении единственной горизонтальной силой, действующей на автомобиль, является сила трения $F_{тр} = \mu N$. На горизонтальной дороге сила нормальной реакции опоры $\text{N}$ равна силе тяжести $mg$, следовательно $F_{тр} = \mu mg$.

По второму закону Ньютона, эта сила сообщает автомобилю ускорение (замедление) $\text{a}$: $ma = F_{тр}$, откуда модуль ускорения $a = \mu g$.

Для нахождения максимальной начальной скорости $v_0$, при которой автомобиль остановится, пройдя путь $\text{s}$, воспользуемся формулой, связывающей путь, скорости и ускорение:

$s = \frac{v^2 - v_0^2}{2a}$.

Поскольку движение замедленное ($\text{a}$ направлено против $v_0$) и конечная скорость $v=0$, формула примет вид: $s = \frac{0^2 - v_0^2}{2(-a)} = \frac{v_0^2}{2a}$.

Подставим выражение для ускорения $a=\mu g$ и выразим $v_0$:

$s = \frac{v_0^2}{2\mu g} \implies v_0^2 = 2\mu gs \implies v_0 = \sqrt{2\mu gs}$.

$v_0 = \sqrt{2 \times 0.8 \times 10 \text{ м/с}^2 \times 25 \text{ м}} = \sqrt{400} \text{ м/с} = 20 \text{ м/с}$.

Ответ: максимальная скорость, при которой автомобиль успеет остановиться, равна $20 \text{ м/с}$.

5. Дано:

$m_1 = 600$ г = $0.6$ кг
$m_2 = 400$ г = $0.4$ кг
$t = 2$ с
$g \approx 10$ м/с²

Найти:

$\text{v}$

Решение:

Система грузов, соединенных нитью через блок (машина Атвуда), будет двигаться с ускорением под действием разности сил тяжести. Груз $m_1$ будет опускаться, а $m_2$ — подниматься. Запишем второй закон Ньютона для каждого груза в проекции на направление их движения (для $m_1$ — вниз, для $m_2$ — вверх). Ускорение $\text{a}$ и сила натяжения нити $\text{T}$ одинаковы для обоих грузов.

Для груза $m_1$: $m_1g - T = m_1a$.

Для груза $m_2$: $T - m_2g = m_2a$.

Сложив эти два уравнения, получим: $m_1g - m_2g = m_1a + m_2a$.

Вынесем общие множители: $g(m_1 - m_2) = a(m_1 + m_2)$.

Найдем ускорение системы: $a = g \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}$.

$a = 10 \text{ м/с}^2 \times \frac{0.6 \text{ кг} - 0.4 \text{ кг}}{0.6 \text{ кг} + 0.4 \text{ кг}} = 10 \text{ м/с}^2 \times \frac{0.2 \text{ кг}}{1.0 \text{ кг}} = 2 \text{ м/с}^2$.

Система начинает движение из состояния покоя, поэтому скорость через время $\text{t}$ равна: $v = at$.

$v = 2 \text{ м/с}^2 \times 2 \text{ с} = 4 \text{ м/с}$.

Ответ: скорость грузов через 2 с будет равна $4 \text{ м/с}$.

6. Дано:

$m = 10$ кг
$a = 5$ м/с²
$\mu = 0.1$
$k = 2000$ Н/м
$g \approx 10$ м/с²

Найти:

$\Delta x$

Решение:

Груз движется по горизонтальной поверхности под действием силы упругости пружины динамометра $F_{упр}$ и силы трения $F_{тр}$. Запишем второй закон Ньютона в проекции на горизонтальную ось, направленную по движению:

$ma = F_{упр} - F_{тр}$.

Сила упругости определяется по закону Гука: $F_{упр} = k\Delta x$, где $\Delta x$ — искомое удлинение пружины.

Сила трения скольжения равна $F_{тр} = \mu N = \mu mg$, так как на горизонтальной поверхности $N=mg$.

Подставим выражения для сил в уравнение второго закона Ньютона:

$ma = k\Delta x - \mu mg$.

Выразим отсюда удлинение пружины $\Delta x$:

$k\Delta x = ma + \mu mg = m(a + \mu g)$.

$\Delta x = \frac{m(a + \mu g)}{k}$.

Подставим числовые значения:

$\Delta x = \frac{10 \text{ кг} \times (5 \text{ м/с}^2 + 0.1 \times 10 \text{ м/с}^2)}{2000 \text{ Н/м}} = \frac{10 \text{ кг} \times (5 + 1) \text{ м/с}^2}{2000 \text{ Н/м}} = \frac{60 \text{ Н}}{2000 \text{ Н/м}} = 0.03 \text{ м}$.

Ответ: удлинение пружины равно $0.03 \text{ м}$ (или $3 \text{ см}$).