Вариант 1, страница 97 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

КР-3. Кинематика периодического движения. Контрольные работы - страница 97.

Условие.

КР-3. Кинематика периодического движения

Вариант 1

I

1. Самолет на скорости 360 км/ч делает петлю Нестерова радиусом 400 м. Определите центростремительное ускорение самолета.

2. Чему равны частота и период колеса ветродвигателя, если за 2 мин колесо сделало 50 оборотов?

II

3. Какова линейная скорость точек шкива мотора, удаленных от оси вращения на 10 см, если шкив совершает 1200 оборотов в минуту?

4. Частица совершает гармонические колебания по закону $x = 20 \cos \frac{\pi}{6}t$ см. Определите координату частицы, модуль ее скорости и ускорения в момент времени $t = 2$ c.

III

5. Определите частоту вращения колес поезда, имеющих диаметр 1,5 м, при скорости поезда 72 км/ч.

6. Каково центростремительное ускорение тела при его равномерном движении по окружности радиусом 10 см, если при этом тело совершает 30 оборотов в минуту?

Решение.

1. Дано:

Скорость самолета, $v = 360$ км/ч
Радиус петли, $R = 400$ м

$v = 360 \times \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 100 \text{ м/с}$

Найти:

Центростремительное ускорение, $a_c$ - ?

Решение:

Центростремительное ускорение при движении по окружности определяется формулой:
$a_c = \frac{v^2}{R}$
Подставим числовые значения:
$a_c = \frac{(100 \text{ м/с})^2}{400 \text{ м}} = \frac{10000}{400} \text{ м/с}^2 = 25 \text{ м/с}^2$

Ответ: $25 \text{ м/с}^2$

2. Дано:

Время, $t = 2$ мин
Число оборотов, $N = 50$

$t = 2 \times 60 \text{ с} = 120 \text{ с}$

Найти:

Частота, $\nu$ - ?
Период, $\text{T}$ - ?

Решение:

Частота вращения ($\nu$) — это число оборотов в единицу времени.
$\nu = \frac{N}{t}$
$\nu = \frac{50}{120 \text{ с}} = \frac{5}{12} \text{ Гц} \approx 0,42 \text{ Гц}$
Период вращения ($\text{T}$) — это время одного полного оборота. Он является величиной, обратной частоте.
$T = \frac{t}{N} = \frac{1}{\nu}$
$T = \frac{120 \text{ с}}{50} = 2,4 \text{ с}$

Ответ: частота $\nu \approx 0,42 \text{ Гц}$, период $T = 2,4 \text{ с}$

3. Дано:

Радиус, $R = 10$ см
Число оборотов в минуту, $n = 1200$ об/мин

$R = 10 \text{ см} = 0,1 \text{ м}$
Частота вращения, $\nu = \frac{1200 \text{ об}}{60 \text{ с}} = 20 \text{ об/с} = 20 \text{ Гц}$

Найти:

Линейная скорость, $\text{v}$ - ?

Решение:

Линейная скорость точек на вращающемся теле связана с угловой скоростью ($\omega$) и радиусом ($\text{R}$) соотношением:
$v = \omega R$
Угловая скорость выражается через частоту вращения ($\nu$):
$\omega = 2\pi\nu$
Следовательно, формула для линейной скорости:
$v = 2\pi\nu R$
Подставим значения:
$v = 2 \pi \times 20 \text{ Гц} \times 0,1 \text{ м} = 4\pi \text{ м/с} \approx 12,57 \text{ м/с}$

Ответ: $\approx 12,57 \text{ м/с}$

4. Дано:

Закон движения: $x = 20 \cos \frac{\pi}{6}t$ см
Момент времени, $t = 2$ с

Запишем закон движения в СИ, переведя амплитуду в метры:
Амплитуда, $A = 20 \text{ см} = 0,2 \text{ м}$
Закон движения в СИ: $x(t) = 0,2 \cos \frac{\pi}{6}t$ м

Найти:

Координата, $x(2)$ - ?
Модуль скорости, $|v(2)|$ - ?
Модуль ускорения, $|a(2)|$ - ?

Решение:

Из уравнения движения $x(t) = A \cos(\omega t)$ находим амплитуду $A = 0,2$ м и циклическую частоту $\omega = \frac{\pi}{6}$ рад/с.
1. Координата частицы в момент времени $t = 2$ с:
$x(2) = 0,2 \cos(\frac{\pi}{6} \times 2) = 0,2 \cos(\frac{\pi}{3}) = 0,2 \times 0,5 = 0,1$ м.
2. Скорость частицы является первой производной от координаты по времени: $v(t) = x'(t)$.
$v(t) = (0,2 \cos(\frac{\pi}{6}t))' = -0,2 \times \frac{\pi}{6} \sin(\frac{\pi}{6}t) = -\frac{\pi}{30} \sin(\frac{\pi}{6}t)$ м/с.
В момент времени $t = 2$ с:
$v(2) = -\frac{\pi}{30} \sin(\frac{\pi}{6} \times 2) = -\frac{\pi}{30} \sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\pi}{30} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\pi\sqrt{3}}{60}$ м/с.
Модуль скорости: $|v(2)| = \frac{\pi\sqrt{3}}{60} \text{ м/с} \approx 0,091 \text{ м/с}$.
3. Ускорение частицы является второй производной от координаты по времени: $a(t) = x''(t) = -\omega^2 x(t)$.
$a(2) = -(\frac{\pi}{6})^2 \times x(2) = -(\frac{\pi}{6})^2 \times 0,1 = -\frac{\pi^2}{36 \times 10} = -\frac{\pi^2}{360}$ м/с².
Модуль ускорения: $|a(2)| = \frac{\pi^2}{360} \text{ м/с}^2 \approx 0,027 \text{ м/с}^2$.

Ответ: координата $x = 0,1$ м, модуль скорости $|v| \approx 0,091$ м/с, модуль ускорения $|a| \approx 0,027$ м/с².

5. Дано:

Диаметр колес, $d = 1,5$ м
Скорость поезда, $v = 72$ км/ч

$v = 72 \times \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 20 \text{ м/с}$
Радиус колес, $R = \frac{d}{2} = \frac{1,5 \text{ м}}{2} = 0,75 \text{ м}$

Найти:

Частота вращения, $\nu$ - ?

Решение:

Линейная скорость поезда равна линейной скорости точек на ободе колеса при движении без проскальзывания. Связь между линейной скоростью ($\text{v}$) и частотой вращения ($\nu$) для точек на расстоянии $\text{R}$ от оси вращения:
$v = 2\pi\nu R$
Выразим частоту вращения из формулы:
$\nu = \frac{v}{2\pi R}$
Подставим значения:
$\nu = \frac{20 \text{ м/с}}{2\pi \times 0,75 \text{ м}} = \frac{20}{1,5\pi} \text{ Гц} = \frac{40}{3\pi} \text{ Гц} \approx 4,24 \text{ Гц}$

Ответ: $\approx 4,24 \text{ Гц}$

6. Дано:

Радиус, $R = 10$ см
Число оборотов в минуту, $n = 30$ об/мин

$R = 10 \text{ см} = 0,1 \text{ м}$
Частота вращения, $\nu = \frac{30 \text{ об}}{60 \text{ с}} = 0,5 \text{ об/с} = 0,5 \text{ Гц}$

Найти:

Центростремительное ускорение, $a_c$ - ?

Решение:

Центростремительное ускорение можно выразить через частоту вращения ($\nu$) и радиус окружности ($\text{R}$). Формула для центростремительного ускорения через угловую скорость $\omega$:
$a_c = \omega^2 R$
Угловая скорость связана с частотой как $\omega = 2\pi\nu$.
Подставив выражение для угловой скорости, получим:
$a_c = (2\pi\nu)^2 R = 4\pi^2\nu^2 R$
Подставим числовые значения в СИ:
$a_c = 4\pi^2 \times (0,5 \text{ Гц})^2 \times 0,1 \text{ м} = 4\pi^2 \times 0,25 \times 0,1 \text{ м/с}^2 = \pi^2 \times 0,1 \text{ м/с}^2 = 0,1\pi^2 \text{ м/с}^2 \approx 0,987 \text{ м/с}^2$

Ответ: $\approx 0,987 \text{ м/с}^2$