Вариант 3, страница 91 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

КР-1. Прямолинейное движение. Контрольные работы - страница 91.

Условие.

Вариант 3

I

1. Пассажир поезда, идущего со скоростью 15 м/с, видит в окне встречный поезд длиной 150 м в течение 6 с. Какова скорость встречного поезда?

2. Автомобиль при разгоне за 10 с приобретает скорость 54 км/ч. Каково при этом ускорение автомобиля?

3. Определите время, за которое ракета приобретает первую космическую скорость 7,9 км/с, если она движется с ускорением $50 \text{ м/с}^2$.

II

4. За 1,5 ч моторная лодка проходит против течения расстояние 18 км. За какое время она пройдет обратный путь, если скорость течения равна 3 км/ч?

5. С каким ускорением двигался поезд до остановки, если в начале торможения он имел скорость 36 км/ч, а его тормозной путь равен 100 м?

6. Пройдя от станции расстояние 1,5 км, поезд развил скорость 54 км/ч. Каково время разгона поезда?

III

7. Катер, плывущий вниз по реке, догоняет спасательный круг. Через 30 мин после этого катер поворачивает назад и снова встречает круг на расстоянии 5 км от места первой встречи. Найдите скорость течения реки.

8. Начав движение из состояния покоя с ускорением $6 \text{ м/с}^2$, тело достигло скорости 36 м/с и, продолжая движение, остановилось через 5 с. Какой путь прошло тело за все время движения?

9. Найдите время, необходимое мотоциклисту для полной остановки, если за 3 с он проехал половину тормозного пути.

Решение.

1. Дано:

$v_1 = 15 \text{ м/с}$
$L = 150 \text{ м}$
$t = 6 \text{ с}$

Найти:

$v_2$

Решение:

Когда поезда движутся навстречу друг другу, их относительная скорость $v_{отн}$ равна сумме их скоростей: $v_{отн} = v_1 + v_2$.

Относительную скорость можно найти, разделив длину встречного поезда $\text{L}$ на время $\text{t}$, за которое он проходит мимо пассажира:

$v_{отн} = \frac{L}{t} = \frac{150 \text{ м}}{6 \text{ с}} = 25 \text{ м/с}$

Теперь можно найти скорость встречного поезда $v_2$:

$v_2 = v_{отн} - v_1 = 25 \text{ м/с} - 15 \text{ м/с} = 10 \text{ м/с}$

Ответ: 10 м/с.

2. Дано:

$t = 10 \text{ с}$
$v_f = 54 \text{ км/ч}$
$v_i = 0$ (разгон из состояния покоя)

$v_f = 54 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 54 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 15 \text{ м/с}$

Найти:

$\text{a}$

Решение:

Ускорение тела при равноускоренном движении определяется по формуле:

$a = \frac{v_f - v_i}{t}$

Подставляем значения в систему СИ:

$a = \frac{15 \text{ м/с} - 0 \text{ м/с}}{10 \text{ с}} = 1,5 \text{ м/с}^2$

Ответ: 1,5 м/с².

3. Дано:

$v_f = 7,9 \text{ км/с}$
$a = 50 \text{ м/с}^2$
$v_i = 0$

$v_f = 7,9 \text{ км/с} = 7900 \text{ м/с}$

Найти:

$\text{t}$

Решение:

Время, необходимое для достижения определённой скорости при равноускоренном движении из состояния покоя, можно найти по формуле:

$v_f = v_i + at \implies t = \frac{v_f - v_i}{a}$

Подставляем значения:

$t = \frac{7900 \text{ м/с}}{50 \text{ м/с}^2} = 158 \text{ с}$

Ответ: 158 с.

4. Дано:

$t_{против} = 1,5 \text{ ч}$
$S = 18 \text{ км}$
$v_{т} = 3 \text{ км/ч}$

$t_{против} = 1,5 \text{ ч} = 5400 \text{ с}$
$S = 18 \text{ км} = 18000 \text{ м}$
$v_{т} = 3 \text{ км/ч} = 3 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{5}{6} \text{ м/с}$

Найти:

$t_{по}$

Решение:

1. Найдем скорость лодки против течения:

$v_{против} = \frac{S}{t_{против}} = \frac{18000 \text{ м}}{5400 \text{ с}} = \frac{10}{3} \text{ м/с}$

2. Скорость лодки против течения равна разности собственной скорости лодки ($v_л$) и скорости течения ($v_т$). Отсюда найдем собственную скорость лодки:

$v_{против} = v_л - v_т \implies v_л = v_{против} + v_т = \frac{10}{3} + \frac{5}{6} = \frac{20}{6} + \frac{5}{6} = \frac{25}{6} \text{ м/с}$

3. Скорость лодки по течению равна сумме собственной скорости лодки и скорости течения:

$v_{по} = v_л + v_т = \frac{25}{6} + \frac{5}{6} = \frac{30}{6} = 5 \text{ м/с}$

4. Найдем время, за которое лодка пройдет обратный путь (по течению):

$t_{по} = \frac{S}{v_{по}} = \frac{18000 \text{ м}}{5 \text{ м/с}} = 3600 \text{ с}$

3600 секунд равно 1 часу.

Ответ: 1 ч.

5. Дано:

$v_i = 36 \text{ км/ч}$
$S = 100 \text{ м}$
$v_f = 0$ (остановка)

$v_i = 36 \text{ км/ч} = 36 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 10 \text{ м/с}$

Найти:

$\text{a}$

Решение:

Для равноускоренного (в данном случае равнозамедленного) движения без учета времени используется формула:

$S = \frac{v_f^2 - v_i^2}{2a}$

Выразим из нее ускорение $\text{a}$:

$a = \frac{v_f^2 - v_i^2}{2S}$

Подставляем значения:

$a = \frac{0^2 - (10 \text{ м/с})^2}{2 \cdot 100 \text{ м}} = \frac{-100 \text{ м}^2/\text{с}^2}{200 \text{ м}} = -0,5 \text{ м/с}^2$

Знак минус указывает, что ускорение направлено против движения (торможение).

Ответ: -0,5 м/с².

6. Дано:

$S = 1,5 \text{ км}$
$v_f = 54 \text{ км/ч}$
$v_i = 0$ (от станции)

$S = 1,5 \text{ км} = 1500 \text{ м}$
$v_f = 54 \text{ км/ч} = 15 \text{ м/с}$

Найти:

$\text{t}$

Решение:

При равноускоренном движении пройденный путь можно вычислить по формуле средней скорости:

$S = \frac{v_i + v_f}{2} \cdot t$

Выразим из формулы время $\text{t}$:

$t = \frac{2S}{v_i + v_f}$

Подставляем значения:

$t = \frac{2 \cdot 1500 \text{ м}}{0 + 15 \text{ м/с}} = \frac{3000}{15} \text{ с} = 200 \text{ с}$

Ответ: 200 с.

7. Дано:

$t_1 = 30 \text{ мин}$
$S = 5 \text{ км}$

$t_1 = 30 \text{ мин} = 1800 \text{ с}$
$S = 5 \text{ км} = 5000 \text{ м}$

Найти:

$v_т$

Решение:

Ключевым моментом в решении задачи является то, что спасательный круг движется со скоростью течения реки. Рассмотрим движение в системе отсчета, связанной с водой. В этой системе круг покоится, а катер движется со своей собственной скоростью $v_к$.

После первой встречи катер удалялся от круга в течение времени $t_1$. Затем он развернулся и двигался навстречу кругу. Так как скорость катера относительно воды не изменилась, время, затраченное на возвращение к кругу, будет равно времени удаления от него: $t_2 = t_1$.

Таким образом, общее время между двумя встречами катера и круга составляет:

$t_{общ} = t_1 + t_2 = 2t_1 = 2 \cdot 1800 \text{ с} = 3600 \text{ с} = 1 \text{ ч}$

За это время спасательный круг, двигаясь со скоростью течения $v_т$ относительно берега, проплыл расстояние $S = 5$ км.

Скорость течения можно найти по формуле:

$v_т = \frac{S}{t_{общ}} = \frac{5000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{50}{36} = \frac{25}{18} \approx 1,39 \text{ м/с}$

Переведем скорость в км/ч для наглядности:

$v_т = \frac{5 \text{ км}}{1 \text{ ч}} = 5 \text{ км/ч}$

Ответ: 5 км/ч (или $\approx 1,39$ м/с).

8. Дано:

Этап 1 (разгон):
$v_{01} = 0 \text{ м/с}$
$a_1 = 6 \text{ м/с}^2$
$v_{k1} = 36 \text{ м/с}$
Этап 2 (торможение):
$v_{02} = 36 \text{ м/с}$
$t_2 = 5 \text{ с}$
$v_{k2} = 0 \text{ м/с}$

Найти:

$S_{общ}$

Решение:

Задача состоит из двух этапов. Найдем путь для каждого этапа и сложим их.

1. Путь на этапе разгона ($S_1$). Используем формулу $S = \frac{v_k^2 - v_0^2}{2a}$:

$S_1 = \frac{v_{k1}^2 - v_{01}^2}{2a_1} = \frac{(36 \text{ м/с})^2 - 0^2}{2 \cdot 6 \text{ м/с}^2} = \frac{1296}{12} \text{ м} = 108 \text{ м}$

2. Путь на этапе торможения ($S_2$). Используем формулу $S = \frac{v_0 + v_k}{2} \cdot t$:

$S_2 = \frac{v_{02} + v_{k2}}{2} \cdot t_2 = \frac{36 \text{ м/с} + 0}{2} \cdot 5 \text{ с} = 18 \cdot 5 \text{ м} = 90 \text{ м}$

3. Общий путь $S_{общ}$ равен сумме путей на двух этапах:

$S_{общ} = S_1 + S_2 = 108 \text{ м} + 90 \text{ м} = 198 \text{ м}$

Ответ: 198 м.

9. Дано:

$t_1 = 3 \text{ с}$ (время прохождения первой половины тормозного пути)

Найти:

$\text{T}$ (полное время торможения)

Решение:

Пусть $v_0$ — начальная скорость, $\text{a}$ — ускорение (отрицательное), $\text{T}$ — полное время торможения, $\text{S}$ — полный тормозной путь.

Запишем уравнения движения: $v_{кон} = v_0 + aT = 0 \implies v_0 = -aT$.

Полный тормозной путь: $S = v_0T + \frac{1}{2}aT^2 = (-aT)T + \frac{1}{2}aT^2 = -\frac{1}{2}aT^2$.

За время $t_1 = 3$ с мотоциклист проехал путь $S_1 = S/2$.

$S_1 = v_0t_1 + \frac{1}{2}at_1^2$.

Подставим известные выражения для $S_1$, $\text{S}$ и $v_0$:

$\frac{1}{2}S = (-aT)t_1 + \frac{1}{2}at_1^2$

$\frac{1}{2}(-\frac{1}{2}aT^2) = -aTt_1 + \frac{1}{2}at_1^2$

Сократим на $a/2$ (так как $a \neq 0$):

$-\frac{1}{2}T^2 = -2Tt_1 + t_1^2$

Получаем квадратное уравнение относительно $\text{T}$:

$T^2 - 4t_1T + 2t_1^2 = 0$

Подставим $t_1 = 3$ с:

$T^2 - 4(3)T + 2(3)^2 = 0 \implies T^2 - 12T + 18 = 0$

Решим квадратное уравнение:

$T = \frac{-(-12) \pm \sqrt{(-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1} = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 72}}{2} = \frac{12 \pm \sqrt{72}}{2}$

Так как $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$, то:

$T = \frac{12 \pm 6\sqrt{2}}{2} = 6 \pm 3\sqrt{2}$

Получаем два корня: $T_1 = 6 + 3\sqrt{2} \approx 10,24$ с и $T_2 = 6 - 3\sqrt{2} \approx 1,76$ с.

Полное время торможения $\text{T}$ должно быть больше, чем время прохождения первой части пути $t_1 = 3$ с. Следовательно, корень $T_2$ не имеет физического смысла.

Ответ: $6 + 3\sqrt{2}$ с (приблизительно 10,24 с).