Вариант 1, страница 93 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

Контрольные работы. КР-2. Свободное падение тел. Баллистическое движение - страница 93.

Условие.

КР-2. Свободное падение тел. Баллистическое движение

Вариант 1

I

1. Тело упало с высоты $45 \text{ м}$. Каково время падения тела?

2. Мальчик бросил горизонтально мяч из окна, находящегося на высоте $20 \text{ м}$. Определите, с какой скоростью был брошен мяч, если он упал на расстоянии $6 \text{ м}$ от основания дома.

II

3. Мальчик бросил вертикально вверх мяч и поймал его через $2 \text{ с}$. На какую максимальную высоту поднялся мяч?

4. Камень, брошенный горизонтально с высоты $2 \text{ м}$ над землей, упал на расстоянии $7 \text{ м}$. Найдите начальную и конечную скорости мяча.

III

5. Тело, брошенное с поверхности земли вертикально вверх со скоростью $30 \text{ м/с}$, дважды побывало на высоте $40 \text{ м}$. Какой промежуток времени разделяет эти два события?

6. Тело брошено под углом $60^\circ$ к горизонту с начальной скоростью $30 \text{ м/с}$. На какой высоте вектор скорости составит угол $45^\circ$ с горизонтом?

Решение.

1. Дано:

$h = 45$ м
$v_0 = 0$ м/с
$g \approx 10$ м/с²

Найти:

$\text{t}$ - ?

Решение:

Движение тела является свободным падением без начальной скорости. Высота, с которой падает тело, связана со временем падения $\text{t}$ и ускорением свободного падения $\text{g}$ следующей формулой:

$h = \frac{gt^2}{2}$

Выразим из этой формулы время $\text{t}$:

$t^2 = \frac{2h}{g}$

$t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

Подставим числовые значения:

$t = \sqrt{\frac{2 \times 45 \, \text{м}}{10 \, \text{м/с}^2}} = \sqrt{\frac{90}{10}} \, \text{с} = \sqrt{9} \, \text{с} = 3$ с.

Ответ: время падения тела составляет 3 с.

2. Дано:

$h = 20$ м
$L = 6$ м
$g \approx 10$ м/с²

Найти:

$v_0$ - ?

Решение:

Движение мяча можно рассматривать как два независимых движения: равномерное движение по горизонтали со скоростью $v_0$ и свободное падение по вертикали без начальной вертикальной скорости. Время полёта $\text{t}$ определяется только вертикальным движением.

Найдем время падения мяча с высоты $\text{h}$:

$h = \frac{gt^2}{2} \implies t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

$t = \sqrt{\frac{2 \times 20 \, \text{м}}{10 \, \text{м/с}^2}} = \sqrt{\frac{40}{10}} \, \text{с} = \sqrt{4} \, \text{с} = 2$ с.

За это время мяч пролетел по горизонтали расстояние $\text{L}$. Так как горизонтальное движение равномерное, то:

$L = v_0 t$

Отсюда найдем начальную скорость $v_0$:

$v_0 = \frac{L}{t} = \frac{6 \, \text{м}}{2 \, \text{с}} = 3$ м/с.

Ответ: мяч был брошен со скоростью 3 м/с.

3. Дано:

$T = 2$ с
$g \approx 10$ м/с²

Найти:

$H_{max}$ - ?

Решение:

Общее время полёта $\text{T}$ мяча, брошенного вертикально вверх и пойманного на той же высоте, складывается из времени подъёма на максимальную высоту ($t_{up}$) и времени падения с неё ($t_{down}$). При отсутствии сопротивления воздуха эти времена равны: $t_{up} = t_{down}$.

Следовательно, время подъёма на максимальную высоту составляет половину общего времени полёта:

$t_{up} = \frac{T}{2} = \frac{2 \, \text{с}}{2} = 1$ с.

Максимальную высоту подъёма можно найти как расстояние, которое тело пролетит при свободном падении из состояния покоя за время $t_{up}$:

$H_{max} = \frac{g t_{up}^2}{2}$

Подставим значения:

$H_{max} = \frac{10 \, \text{м/с}^2 \times (1 \, \text{с})^2}{2} = \frac{10}{2} \, \text{м} = 5$ м.

Ответ: мяч поднялся на максимальную высоту 5 м.

4. Дано:

$h = 2$ м
$L = 7$ м
$g \approx 10$ м/с²

Найти:

$v_0$ - ?
$v_f$ - ?

Решение:

1. Нахождение начальной скорости $v_0$. Движение камня состоит из равномерного горизонтального движения и свободного падения по вертикали. Время полёта $\text{t}$ определяется высотой падения $\text{h}$:

$h = \frac{gt^2}{2} \implies t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 2 \, \text{м}}{10 \, \text{м/с}^2}} = \sqrt{0.4}$ с.

Начальная скорость $v_0$ - это горизонтальная скорость, которая постоянна. Её можно найти из дальности полёта $\text{L}$:

$v_0 = \frac{L}{t} = \frac{7 \, \text{м}}{\sqrt{0.4} \, \text{с}} = \frac{7}{\sqrt{4/10}} \, \text{м/с} = \frac{7 \sqrt{10}}{2} \, \text{м/с} \approx 11.07$ м/с.

2. Нахождение конечной скорости $v_f$. Конечная скорость $v_f$ является векторной суммой горизонтальной ($v_x$) и вертикальной ($v_y$) составляющих в момент падения.

Горизонтальная составляющая: $v_x = v_0 = \frac{7 \sqrt{10}}{2}$ м/с.

Вертикальная составляющая: $v_y = gt = 10 \, \text{м/с}^2 \times \sqrt{0.4} \, \text{с} = 10 \sqrt{\frac{4}{10}} \, \text{м/с} = \frac{20}{\sqrt{10}} \, \text{м/с} = 2\sqrt{10}$ м/с.

Модуль конечной скорости найдём по теореме Пифагора:

$v_f = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{(\frac{7\sqrt{10}}{2})^2 + (2\sqrt{10})^2} = \sqrt{\frac{49 \times 10}{4} + 4 \times 10} = \sqrt{122.5 + 40} = \sqrt{162.5} \approx 12.75$ м/с.

Ответ: начальная скорость $v_0 \approx 11.07$ м/с, конечная скорость $v_f \approx 12.75$ м/с.

5. Дано:

$v_0 = 30$ м/с
$h = 40$ м
$g \approx 10$ м/с²

Найти:

$\Delta t$ - ?

Решение:

Запишем уравнение зависимости высоты от времени для тела, брошенного вертикально вверх:

$h(t) = v_0 t - \frac{gt^2}{2}$

Подставим известные значения, чтобы найти моменты времени $t_1$ и $t_2$, когда тело находилось на высоте 40 м:

$40 = 30t - \frac{10t^2}{2}$

$40 = 30t - 5t^2$

Получаем квадратное уравнение:

$5t^2 - 30t + 40 = 0$

Разделим все члены на 5 для упрощения:

$t^2 - 6t + 8 = 0$

Решим это уравнение. Корни можно найти по теореме Виета ($t_1+t_2=6, t_1 \cdot t_2=8$):

$t_1 = 2$ с (на пути вверх)

$t_2 = 4$ с (на пути вниз)

Промежуток времени, разделяющий эти два события, равен разности $t_2$ и $t_1$:

$\Delta t = t_2 - t_1 = 4 \, \text{с} - 2 \, \text{с} = 2$ с.

Ответ: промежуток времени составляет 2 с.

6. Дано:

$v_0 = 30$ м/с
$\alpha_0 = 60°$
$\alpha = 45°$
$g \approx 10$ м/с²

Найти:

$\text{h}$ - ?

Решение:

Разложим начальную скорость на горизонтальную $v_{0x}$ и вертикальную $v_{0y}$ составляющие:

$v_{0x} = v_0 \cos \alpha_0 = 30 \times \cos 60° = 30 \times 0.5 = 15$ м/с.

$v_{0y} = v_0 \sin \alpha_0 = 30 \times \sin 60° = 30 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 15\sqrt{3}$ м/с.

Горизонтальная составляющая скорости $v_x$ не изменяется в течение всего полёта: $v_x = v_{0x} = 15$ м/с.

Угол $\alpha$ вектора скорости с горизонтом в любой момент времени определяется отношением вертикальной ($v_y$) и горизонтальной ($v_x$) составляющих скорости:

$\tan \alpha = \frac{v_y}{v_x}$

По условию, $\alpha = 45°$, а $\tan 45° = 1$. Следовательно, в искомый момент времени $v_y = v_x$.

$v_y = 15$ м/с.

Для нахождения высоты $\text{h}$, на которой это произойдет, используем формулу, не содержащую время:

$v_y^2 = v_{0y}^2 - 2gh$

Выразим отсюда высоту $\text{h}$:

$h = \frac{v_{0y}^2 - v_y^2}{2g}$

Подставим числовые значения:

$h = \frac{(15\sqrt{3})^2 - (15)^2}{2 \times 10} = \frac{(225 \times 3) - 225}{20} = \frac{675 - 225}{20} = \frac{450}{20} = 22.5$ м.

Ответ: на высоте 22.5 м.