Вариант 3, страница 95 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

Контрольные работы. КР-2. Свободное падение тел. Баллистическое движение - страница 95.

Условие.

Вариант 3

I

1. Чему равна максимальная высота, на которую поднимется тело, брошенное вертикально вверх со скоростью $40 \text{ м/с}$?

2. Ружье расположено горизонтально на высоте $3 \text{ м}$ над землей. Через какое время после выстрела пуля упадет на землю?

II

3. Какова начальная скорость стрелы, выпущенной из лука вертикально вверх, если она упала на землю через $6 \text{ с}$?

4. Дальность полета тела, брошенного горизонтально со скоростью $10 \text{ м/с}$, равна высоте бросания. С какой высоты было сброшено тело?

III

5. Свободно падающее тело прошло последние $30 \text{ м}$ за время $0,5 \text{ с}$. Найдите высоту, с которой падало тело.

6. Мяч, брошенный одним игроком другому под углом к горизонту со скоростью $20 \text{ м/с}$, достиг высшей точки подъема через $1 \text{ с}$. На каком расстоянии находились друг от друга игроки?

Решение.

1. Чему равна максимальная высота, на которую поднимется тело, брошенное вертикально вверх со скоростью 40 м/с?

Дано:

$v_0 = 40 \text{ м/с}$

$v = 0 \text{ м/с}$ (в верхней точке)

$g \approx 10 \text{ м/с}^2$

Найти:

$H_{max} - ?$

Решение:

При движении тела, брошенного вертикально вверх, его высота изменяется по закону равноускоренного движения. Для нахождения максимальной высоты подъема можно использовать формулу, связывающую высоту, начальную и конечную скорости:

$H = \frac{v^2 - v_0^2}{2a}$

В нашем случае ускорение $a = -g$, а конечная скорость на максимальной высоте $v = 0$.

$H_{max} = \frac{0^2 - v_0^2}{2(-g)} = \frac{-v_0^2}{-2g} = \frac{v_0^2}{2g}$

Подставим числовые значения:

$H_{max} = \frac{(40 \text{ м/с})^2}{2 \cdot 10 \text{ м/с}^2} = \frac{1600 \text{ м}^2/\text{с}^2}{20 \text{ м/с}^2} = 80 \text{ м}$

Ответ: 80 м.

2. Ружье расположено горизонтально на высоте 3 м над землей. Через какое время после выстрела пуля упадет на землю?

Дано:

$h = 3 \text{ м}$

$v_{0y} = 0 \text{ м/с}$ (начальная вертикальная скорость)

$g \approx 10 \text{ м/с}^2$

Найти:

$t - ?$

Решение:

Движение пули по вертикали является свободным падением без начальной скорости, так как выстрел произведен горизонтально. Горизонтальная составляющая скорости не влияет на время падения. Время падения можно найти из формулы для высоты при свободном падении:

$h = v_{0y}t + \frac{gt^2}{2}$

Так как $v_{0y} = 0$, формула упрощается:

$h = \frac{gt^2}{2}$

Выразим из этой формулы время $\text{t}$:

$t^2 = \frac{2h}{g}$

$t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

Подставим числовые значения:

$t = \sqrt{\frac{2 \cdot 3 \text{ м}}{10 \text{ м/с}^2}} = \sqrt{0.6 \text{ с}^2} \approx 0.77 \text{ с}$

Ответ: $\approx 0.77$ с.

3. Какова начальная скорость стрелы, выпущенной из лука вертикально вверх, если она упала на землю через 6 с?

Дано:

$t_{полн} = 6 \text{ с}$

$g \approx 10 \text{ м/с}^2$

Найти:

$v_0 - ?$

Решение:

При движении тела, брошенного вертикально вверх, время подъема до максимальной высоты равно времени падения с этой высоты. Следовательно, время подъема составляет половину от общего времени полета.

$t_{подъема} = \frac{t_{полн}}{2} = \frac{6 \text{ с}}{2} = 3 \text{ с}$

В верхней точке траектории скорость тела равна нулю. Используя формулу скорости для равноускоренного движения $v = v_0 + at$, где $a = -g$:

$0 = v_0 - g \cdot t_{подъема}$

Отсюда выразим начальную скорость $v_0$:

$v_0 = g \cdot t_{подъема}$

Подставим числовые значения:

$v_0 = 10 \text{ м/с}^2 \cdot 3 \text{ с} = 30 \text{ м/с}$

Ответ: 30 м/с.

4. Дальность полета тела, брошенного горизонтально со скоростью 10 м/с, равна высоте бросания. С какой высоты было сброшено тело?

Дано:

$v_x = 10 \text{ м/с}$

$L = H$

$g \approx 10 \text{ м/с}^2$

Найти:

$H - ?$

Решение:

Дальность полета $\text{L}$ при горизонтальном броске определяется как $L = v_x \cdot t$, где $\text{t}$ – время полета.

Высота падения $\text{H}$ определяется как $H = \frac{gt^2}{2}$.

Из первой формулы выразим время полета: $t = \frac{L}{v_x}$.

Подставим это выражение для времени во вторую формулу:

$H = \frac{g}{2} \left(\frac{L}{v_x}\right)^2 = \frac{gL^2}{2v_x^2}$

По условию задачи дальность полета равна высоте бросания, т.е. $L = H$. Заменим $\text{L}$ на $\text{H}$ в полученном уравнении:

$H = \frac{gH^2}{2v_x^2}$

Поскольку $H > 0$, можно сократить обе части уравнения на $\text{H}$:

$1 = \frac{gH}{2v_x^2}$

Выразим высоту $\text{H}$:

$H = \frac{2v_x^2}{g}$

Подставим числовые значения:

$H = \frac{2 \cdot (10 \text{ м/с})^2}{10 \text{ м/с}^2} = \frac{2 \cdot 100}{10} = 20 \text{ м}$

Ответ: 20 м.

5. Свободно падающее тело прошло последние 30 м за время 0,5 с. Найдите высоту, с которой падало тело.

Дано:

$\Delta h = 30 \text{ м}$

$\Delta t = 0,5 \text{ с}$

$v_0 = 0 \text{ м/с}$

$g \approx 10 \text{ м/с}^2$

Найти:

$H - ?$

Решение:

Пусть $\text{H}$ – полная высота падения, а $\text{t}$ – полное время падения. Тогда $H = \frac{gt^2}{2}$.

Путь, пройденный телом до последнего участка, составляет $H - \Delta h$, а время, за которое он был пройден, равно $t - \Delta t$.

$H - \Delta h = \frac{g(t - \Delta t)^2}{2}$

Подставим в это уравнение выражение для $\text{H}$ и известные значения:

$\frac{gt^2}{2} - 30 = \frac{g(t - 0.5)^2}{2}$

Умножим обе части на 2 и раскроем скобки:

$gt^2 - 60 = g(t^2 - t + 0.25)$

$gt^2 - 60 = gt^2 - gt + 0.25g$

Сократим $gt^2$:

$-60 = -gt + 0.25g$

$gt = 60 + 0.25g$

Подставим $g = 10 \text{ м/с}^2$ и найдем полное время падения $\text{t}$:

$10t = 60 + 0.25 \cdot 10$

$10t = 62.5$

$t = 6.25 \text{ с}$

Теперь найдем полную высоту падения $\text{H}$:

$H = \frac{gt^2}{2} = \frac{10 \cdot (6.25)^2}{2} = 5 \cdot 39.0625 = 195.3125 \text{ м}$

Ответ: $\approx 195.3$ м.

6. Мяч, брошенный одним игроком другому под углом к горизонту со скоростью 20 м/с, достиг высшей точки подъема через 1 с. На каком расстоянии находились друг от друга игроки?

Дано:

$v_0 = 20 \text{ м/с}$

$t_{подъема} = 1 \text{ с}$

$g \approx 10 \text{ м/с}^2$

Найти:

$L - ?$

Решение:

Движение мяча можно разложить на горизонтальное (равномерное) и вертикальное (равноускоренное). В высшей точке подъема вертикальная составляющая скорости $v_y$ равна нулю.

Найдем начальную вертикальную составляющую скорости $v_{0y}$ из уравнения $v_y = v_{0y} - gt$:

$0 = v_{0y} - g \cdot t_{подъема}$

$v_{0y} = g \cdot t_{подъема} = 10 \text{ м/с}^2 \cdot 1 \text{ с} = 10 \text{ м/с}$

Зная полную начальную скорость $v_0$ и ее вертикальную составляющую $v_{0y}$, найдем горизонтальную составляющую $v_{0x}$ по теореме Пифагора $v_0^2 = v_{0x}^2 + v_{0y}^2$:

$v_{0x} = \sqrt{v_0^2 - v_{0y}^2} = \sqrt{(20 \text{ м/с})^2 - (10 \text{ м/с})^2} = \sqrt{400 - 100} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3} \text{ м/с}$

Расстояние между игроками – это дальность полета мяча $\text{L}$. Она равна произведению горизонтальной скорости на полное время полета $t_{полн}$.

Полное время полета вдвое больше времени подъема: $t_{полн} = 2 \cdot t_{подъема} = 2 \cdot 1 \text{ с} = 2 \text{ с}$.

Теперь вычислим дальность полета:

$L = v_{0x} \cdot t_{полн} = 10\sqrt{3} \text{ м/с} \cdot 2 \text{ с} = 20\sqrt{3} \text{ м}$

Для численного ответа: $20\sqrt{3} \approx 20 \cdot 1.732 = 34.64 \text{ м}$.

Ответ: $20\sqrt{3}$ м (или $\approx 34.6$ м).