Вариант 4, страница 100 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

Контрольные работы. КР-3. Кинематика периодического движения - страница 100.

Условие.

Вариант 4

I

1. Каковы период и частота обращения секундной стрелки часов?

2. Конькобежец движется со скоростью 12 м/с по окружности радиусом 50 м. Определите центростремительное ускорение при движении конькобежца.

II

3. Чему равна скорость поезда, если колеса локомотива, имеющие радиус 1,2 м, делают 160 оборотов в минуту?

4. Частица совершает гармонические колебания по закону $x = 4 \cos \frac{\pi}{10} t$ см. Определите координату частицы, модуль ее скорости и ускорения в момент времени $t = 5$ с.

III

5. Найдите частоту вращения барабана лебедки диаметром 16 см при подъеме груза со скоростью 0,4 м/с.

6. Определите среднюю орбитальную скорость спутника, если средняя высота его орбиты над Землей равна 1200 км, а период обращения равен 105 мин. Радиус Земли равен 6400 км.

Решение.

1. Каковы период и частота обращения секундной стрелки часов?

Секундная стрелка часов совершает один полный оборот за 60 секунд.

Период обращения ($\text{T}$) – это время, за которое тело совершает один полный оборот. Следовательно, для секундной стрелки: $T = 60 \text{ с}$.

Частота обращения ($\text{ν}$) – это величина, обратная периоду. Она показывает, сколько оборотов совершает тело за единицу времени. $ν = \frac{1}{T}$ $ν = \frac{1}{60 \text{ с}} \approx 0,0167 \text{ Гц}$.

Ответ: период $T = 60 \text{ с}$, частота $ν = \frac{1}{60} \text{ Гц} \approx 0,0167 \text{ Гц}$.

2. Конькобежец движется со скоростью 12 м/с по окружности радиусом 50 м. Определите центростремительное ускорение при движении конькобежца.

Дано:

$v = 12$ м/с
$R = 50$ м

Найти:

$a_c$ - ?

Решение:

Центростремительное ускорение ($a_c$) при движении тела по окружности определяется по формуле: $a_c = \frac{v^2}{R}$, где $\text{v}$ – линейная скорость, а $\text{R}$ – радиус окружности.

Подставим данные значения в формулу: $a_c = \frac{(12 \text{ м/с})^2}{50 \text{ м}} = \frac{144 \text{ м}^2/\text{с}^2}{50 \text{ м}} = 2,88 \text{ м/с}^2$.

Ответ: центростремительное ускорение конькобежца равно $2,88 \text{ м/с}^2$.

3. Чему равна скорость поезда, если колеса локомотива, имеющие радиус 1,2 м, делают 160 оборотов в минуту?

Дано:

$R = 1,2$ м
$n = 160$ об/мин

Переведем частоту вращения в систему СИ (обороты в секунду, Гц):
$ν = 160 \frac{\text{об}}{\text{мин}} = \frac{160}{60} \frac{\text{об}}{\text{с}} = \frac{8}{3} \text{ Гц}$.

Найти:

$\text{v}$ - ?

Решение:

Скорость поезда равна линейной скорости точек на ободе колеса. Линейная скорость ($\text{v}$) связана с угловой скоростью ($\text{ω}$) и радиусом ($\text{R}$) соотношением: $v = ωR$.

Угловая скорость, в свою очередь, связана с частотой вращения ($\text{ν}$) формулой: $ω = 2πν$.

Объединив формулы, получим: $v = 2πνR$.

Подставим числовые значения: $v = 2π \cdot \frac{8}{3} \text{ Гц} \cdot 1,2 \text{ м} = 2π \cdot \frac{8}{3} \cdot \frac{12}{10} \text{ м/с} = 6,4π \text{ м/с}$.

Вычислим приближенное значение: $v \approx 6,4 \cdot 3,1416 \approx 20,1 \text{ м/с}$.

Ответ: скорость поезда равна $6,4π \text{ м/с}$, что примерно составляет $20,1 \text{ м/с}$.

4. Частица совершает гармонические колебания по закону $x = 4 \cos \frac{π}{10} t$ см. Определите координату частицы, модуль ее скорости и ускорения в момент времени $t = 5$ с.

Дано:

$x(t) = 4 \cos(\frac{π}{10}t)$ см
$t = 5$ с

Переведем амплитуду в систему СИ:
$A = 4 \text{ см} = 0,04 \text{ м}$.
Тогда уравнение движения в СИ: $x(t) = 0,04 \cos(\frac{π}{10}t)$ м.

Найти:

$x(5)$ - ?, $|v(5)|$ - ?, $|a(5)|$ - ?

Решение:

1. Координата частицы.
Подставим $t = 5$ с в уравнение движения: $x(5) = 0,04 \cos(\frac{π}{10} \cdot 5) = 0,04 \cos(\frac{π}{2})$.
Так как $\cos(\frac{π}{2}) = 0$, то $x(5) = 0,04 \cdot 0 = 0 \text{ м}$.

2. Модуль скорости.
Скорость является первой производной от координаты по времени: $v(t) = x'(t)$.
$v(t) = \frac{d}{dt} (0,04 \cos(\frac{π}{10}t)) = -0,04 \cdot \frac{π}{10} \sin(\frac{π}{10}t) = -0,004π \sin(\frac{π}{10}t)$.
Найдем скорость в момент времени $t = 5$ с: $v(5) = -0,004π \sin(\frac{π}{10} \cdot 5) = -0,004π \sin(\frac{π}{2})$.
Так как $\sin(\frac{π}{2}) = 1$, то $v(5) = -0,004π \text{ м/с}$.
Модуль скорости: $|v(5)| = |-0,004π| = 0,004π \text{ м/с} \approx 0,0126 \text{ м/с}$.

3. Модуль ускорения.
Ускорение является первой производной от скорости по времени: $a(t) = v'(t)$. Также для гармонических колебаний $a(t) = -ω^2 x(t)$.
Так как в момент времени $t=5$ с координата $x(5)=0$, то и ускорение будет равно нулю.
$a(5) = -(\frac{π}{10})^2 \cdot x(5) = -(\frac{π}{10})^2 \cdot 0 = 0 \text{ м/с}^2$.
Модуль ускорения: $|a(5)| = 0 \text{ м/с}^2$.

Ответ: в момент времени $t = 5$ с координата частицы $x = 0$ м, модуль скорости $|v| = 0,004π \text{ м/с} \approx 0,0126 \text{ м/с}$, модуль ускорения $|a| = 0 \text{ м/с}^2$.

5. Найдите частоту вращения барабана лебедки диаметром 16 см при подъеме груза со скоростью 0,4 м/с.

Дано:

$d = 16$ см
$v = 0,4$ м/с

Переведем диаметр в систему СИ и найдем радиус:
$d = 16 \text{ см} = 0,16 \text{ м}$.
$R = \frac{d}{2} = \frac{0,16 \text{ м}}{2} = 0,08 \text{ м}$.

Найти:

$\text{ν}$ - ?

Решение:

Скорость подъема груза равна линейной скорости точек на поверхности барабана лебедки. Линейная скорость ($\text{v}$) связана с частотой вращения ($\text{ν}$) и радиусом ($\text{R}$) формулой: $v = 2πνR$.

Выразим из этой формулы частоту вращения: $ν = \frac{v}{2πR}$.

Подставим числовые значения: $ν = \frac{0,4 \text{ м/с}}{2π \cdot 0,08 \text{ м}} = \frac{0,4}{0,16π} \text{ Гц} = \frac{40}{16π} \text{ Гц} = \frac{5}{2π} \text{ Гц}$.

Вычислим приближенное значение: $ν \approx \frac{5}{2 \cdot 3,1416} \approx 0,796 \text{ Гц}$.

Ответ: частота вращения барабана лебедки равна $\frac{5}{2π} \text{ Гц}$, что примерно составляет $0,80 \text{ Гц}$.

6. Определите среднюю орбитальную скорость спутника, если средняя высота его орбиты над Землей равна 1200 км, а период обращения равен 105 мин. Радиус Земли равен 6400 км.

Дано:

$h = 1200$ км
$T = 105$ мин
$R_З = 6400$ км

Переведем все данные в систему СИ:
$h = 1200 \text{ км} = 1200 \cdot 10^3 \text{ м} = 1,2 \cdot 10^6 \text{ м}$.
$T = 105 \text{ мин} = 105 \cdot 60 \text{ с} = 6300 \text{ с}$.
$R_З = 6400 \text{ км} = 6400 \cdot 10^3 \text{ м} = 6,4 \cdot 10^6 \text{ м}$.

Найти:

$\text{v}$ - ?

Решение:

Сначала найдем радиус орбиты спутника ($\text{R}$), который равен сумме радиуса Земли ($R_З$) и высоты орбиты ($\text{h}$): $R = R_З + h = 6,4 \cdot 10^6 \text{ м} + 1,2 \cdot 10^6 \text{ м} = 7,6 \cdot 10^6 \text{ м}$.

Средняя орбитальная скорость ($\text{v}$) спутника – это отношение длины орбиты (длины окружности $L=2πR$) к периоду обращения ($\text{T}$): $v = \frac{L}{T} = \frac{2πR}{T}$.

Подставим числовые значения: $v = \frac{2π \cdot 7,6 \cdot 10^6 \text{ м}}{6300 \text{ с}} \approx 7575 \text{ м/с}$.

С учетом точности исходных данных (2 значащие цифры), округлим результат: $v \approx 7,6 \cdot 10^3 \text{ м/с}$ или $7,6 \text{ км/с}$.

Ответ: средняя орбитальная скорость спутника примерно равна $7,6 \cdot 10^3 \text{ м/с}$ (или $7,6 \text{ км/с}$).