Вариант 4, страница 104 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

КР-4. Законы Ньютона. Контрольные работы - страница 104.

Условие.

Вариант 4

I

1. Определите массу груза, который можно поднимать с помощью стальной проволоки с ускорением $2 \text{ м/с}^2$, если проволока выдерживает максимальную нагрузку $6 \text{ кН}$.

2. Рассчитайте силу торможения, действующую на поезд массой $400 \text{ т}$. Тормозной путь поезда равен $200 \text{ м}$, а его скорость в начале торможения — $39,6 \text{ км/ч}$.

II

3. Вагонетка массой $200 \text{ кг}$ движется с ускорением $4 \text{ м/с}^2$. С какой силой рабочий толкает вагонетку, если коэффициент трения равен 0,6?

4. К вертикально расположенному динамометру прикрепили брусок массой $200 \text{ г}$. Затем брусок оттянули так, что пружина удлинилась на $4 \text{ см}$. Определите ускорение, с которым начнет двигаться брусок, если его отпустить. Жесткость пружины равна $80 \text{ Н/м}$.

III

5. Какая горизонтальная сила требуется, чтобы тело массой $2 \text{ кг}$, лежащее на горизонтальной поверхности, начало скользить по ней с ускорением $0,2 \text{ м/с}^2$? Коэффициент трения между телом и поверхностью равен 0,02.

6. Найдите ускорение и силу натяжения нити (рис. 59), если массы грузов $m_1 = 8 \text{ кг}$ и $m_2 = 12 \text{ кг}$.

Решение.

1. Определите массу груза, который можно поднимать с помощью стальной проволоки с ускорением 2 м/с², если проволока выдерживает максимальную нагрузку 6 кН.

Дано:

$a = 2 \text{ м/с²}$
$T_{max} = 6 \text{ кН}$
$g \approx 10 \text{ м/с²}$

Перевод в систему СИ:

$T_{max} = 6000 \text{ Н}$

Найти:

$\text{m}$

Решение:

На груз, поднимаемый вертикально вверх, действуют две силы: сила натяжения проволоки $\text{T}$, направленная вверх, и сила тяжести $F_g = mg$, направленная вниз. Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая этих сил равна произведению массы груза на его ускорение:

$T - mg = ma$

Максимальная масса груза $\text{m}$, которую можно поднять с заданным ускорением, определяется максимальной силой натяжения $T_{max}$, которую выдерживает проволока.

$T_{max} - mg = ma$

Выразим массу $\text{m}$ из этого уравнения:

$T_{max} = ma + mg = m(a + g)$

$m = \frac{T_{max}}{a + g}$

Подставим числовые значения:

$m = \frac{6000 \text{ Н}}{2 \text{ м/с²} + 10 \text{ м/с²}} = \frac{6000}{12} \text{ кг} = 500 \text{ кг}$

Ответ: 500 кг.

2. Рассчитайте силу торможения, действующую на поезд массой 400 т. Тормозной путь поезда равен 200 м, а его скорость в начале торможения — 39,6 км/ч.

Дано:

$m = 400 \text{ т}$
$s = 200 \text{ м}$
$v_0 = 39,6 \text{ км/ч}$
$v = 0$

Перевод в систему СИ:

$m = 400 \times 1000 \text{ кг} = 400000 \text{ кг}$
$v_0 = 39,6 \times \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 11 \text{ м/с}$

Найти:

$F_{торм}$

Решение:

Сила торможения $F_{торм}$ является равнодействующей силой, которая сообщает поезду ускорение $\text{a}$. Согласно второму закону Ньютона:

$F_{торм} = ma$

Ускорение (замедление) поезда можно найти из кинематической формулы для равноускоренного движения, которая не содержит времени:

$s = \frac{v^2 - v_0^2}{2a}$

Выразим ускорение $\text{a}$:

$a = \frac{v^2 - v_0^2}{2s}$

Подставим числовые значения:

$a = \frac{0^2 - (11 \text{ м/с})^2}{2 \times 200 \text{ м}} = \frac{-121}{400} \text{ м/с²} = -0,3025 \text{ м/с²}$

Знак "минус" указывает, что вектор ускорения направлен противоположно вектору начальной скорости. Теперь найдем модуль силы торможения:

$F_{торм} = |ma| = 400000 \text{ кг} \times 0,3025 \text{ м/с²} = 121000 \text{ Н} = 121 \text{ кН}$

Ответ: 121 кН.

3. Вагонетка массой 200 кг движется с ускорением 4 м/с². С какой силой рабочий толкает вагонетку, если коэффициент трения равен 0,6?

Дано:

$m = 200 \text{ кг}$
$a = 4 \text{ м/с²}$
$\mu = 0,6$
$g \approx 10 \text{ м/с²}$

Найти:

$\text{F}$

Решение:

На вагонетку в горизонтальном направлении действуют две силы: сила, с которой толкает рабочий $\text{F}$, и сила трения скольжения $F_{тр}$, направленная против движения. Согласно второму закону Ньютона:

$F - F_{тр} = ma$

Сила трения скольжения рассчитывается по формуле:

$F_{тр} = \mu N$

Поскольку вагонетка движется по горизонтальной поверхности, сила нормальной реакции $\text{N}$ равна силе тяжести $mg$:

$N = mg$

Следовательно, $F_{тр} = \mu mg$. Подставим это выражение в уравнение второго закона Ньютона:

$F - \mu mg = ma$

Выразим искомую силу $\text{F}$:

$F = ma + \mu mg = m(a + \mu g)$

Подставим числовые значения:

$F = 200 \text{ кг} \times (4 \text{ м/с²} + 0,6 \times 10 \text{ м/с²}) = 200 \times (4 + 6) \text{ Н} = 200 \times 10 \text{ Н} = 2000 \text{ Н} = 2 \text{ кН}$

Ответ: 2 кН.

4. К вертикально расположенному динамометру прикрепили брусок массой 200 г. Затем брусок оттянули так, что пружина удлинилась на 4 см. Определите ускорение, с которым начнет двигаться брусок, если его отпустить. Жесткость пружины равна 80 Н/м.

Дано:

$m = 200 \text{ г}$
$\Delta x = 4 \text{ см}$
$k = 80 \text{ Н/м}$
$g \approx 10 \text{ м/с²}$

Перевод в систему СИ:

$m = 0,2 \text{ кг}$
$\Delta x = 0,04 \text{ м}$

Найти:

$\text{a}$

Решение:

Когда брусок прикреплен к пружине и находится в равновесии, сила упругости $F_{упр, eq}$ уравновешивает силу тяжести $mg$.

Когда брусок оттягивают вниз на расстояние $\Delta x$ от положения равновесия и отпускают, на него действуют сила тяжести $mg$ (вниз) и сила упругости $F_{упр}$ (вверх). Результирующая сила $F_{net}$ в момент отпускания будет направлена вверх.

$F_{net} = F_{упр} - mg$

В положении равновесия пружина уже растянута на величину $x_{eq}$, так что $kx_{eq} = mg$. Когда брусок оттянули еще на $\Delta x$, общее растяжение пружины стало $x_{total} = x_{eq} + \Delta x$. Сила упругости в этот момент: $F_{упр} = k \cdot x_{total} = k(x_{eq} + \Delta x)$.

Тогда результирующая сила:

$F_{net} = k(x_{eq} + \Delta x) - mg = kx_{eq} + k\Delta x - mg$

Поскольку $kx_{eq} = mg$, эти слагаемые взаимно уничтожаются:

$F_{net} = k\Delta x$

Согласно второму закону Ньютона, $F_{net} = ma$. Следовательно:

$ma = k\Delta x$

Выразим ускорение $\text{a}$:

$a = \frac{k\Delta x}{m}$

Подставим числовые значения:

$a = \frac{80 \text{ Н/м} \times 0,04 \text{ м}}{0,2 \text{ кг}} = \frac{3,2}{0,2} \text{ м/с²} = 16 \text{ м/с²}$

Ответ: 16 м/с².

5. Какая горизонтальная сила требуется, чтобы тело массой 2 кг, лежащее на горизонтальной поверхности, начало скользить по ней с ускорением 0,2 м/с²? Коэффициент трения между телом и поверхностью равен 0,02.

Дано:

$m = 2 \text{ кг}$
$a = 0,2 \text{ м/с²}$
$\mu = 0,02$
$g \approx 10 \text{ м/с²}$

Найти:

$\text{F}$

Решение:

Задача аналогична задаче 3. На тело в горизонтальном направлении действуют приложенная сила $\text{F}$ и сила трения $F_{тр}$. Согласно второму закону Ньютона:

$F - F_{тр} = ma$

Сила трения скольжения равна $F_{тр} = \mu N$. На горизонтальной поверхности сила нормальной реакции $\text{N}$ равна силе тяжести $mg$, т.е. $N = mg$. Следовательно, $F_{тр} = \mu mg$.

Подставляя выражение для силы трения в уравнение второго закона Ньютона, получаем:

$F - \mu mg = ma$

Отсюда находим искомую силу $\text{F}$:

$F = ma + \mu mg = m(a + \mu g)$

Подставим числовые значения:

$F = 2 \text{ кг} \times (0,2 \text{ м/с²} + 0,02 \times 10 \text{ м/с²}) = 2 \times (0,2 + 0,2) \text{ Н} = 2 \times 0,4 \text{ Н} = 0,8 \text{ Н}$

Ответ: 0,8 Н.

6. Найдите ускорение и силу натяжения нити (рис. 59), если массы грузов $m_1 = 8$ кг и $m_2 = 12$ кг.

Дано:

$m_1 = 8 \text{ кг}$
$m_2 = 12 \text{ кг}$
$g \approx 10 \text{ м/с²}$

Найти:

$\text{a}$, $\text{T}$

Решение:

Это система тел (машина Атвуда). Поскольку $m_2 > m_1$, груз $m_2$ будет опускаться, а груз $m_1$ — подниматься с одинаковым по модулю ускорением $\text{a}$. Нить нерастяжима и невесома, поэтому сила натяжения $\text{T}$ одинакова по всей её длине.

Запишем второй закон Ньютона для каждого груза в проекции на вертикальную ось (направим ось OY вверх):

Для груза $m_1$ (движется вверх):

$T - m_1g = m_1a \quad (1)$

Для груза $m_2$ (движется вниз, поэтому его ускорение в проекции на ось OY равно $-a$):

$T - m_2g = -m_2a \quad (2)$

Получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $\text{a}$ и $\text{T}$. Сложим уравнения (1) и (2) после преобразования второго ($m_2g - T = m_2a$):

$(T - m_1g) + (m_2g - T) = m_1a + m_2a$

$m_2g - m_1g = (m_1 + m_2)a$

Выразим ускорение $\text{a}$:

$a = \frac{(m_2 - m_1)g}{m_1 + m_2}$

Подставим числовые значения:

$a = \frac{(12 \text{ кг} - 8 \text{ кг}) \times 10 \text{ м/с²}}{8 \text{ кг} + 12 \text{ кг}} = \frac{4 \times 10}{20} \text{ м/с²} = \frac{40}{20} \text{ м/с²} = 2 \text{ м/с²}$

Теперь найдем силу натяжения нити $\text{T}$, подставив найденное значение $\text{a}$ в уравнение (1):

$T = m_1a + m_1g = m_1(a + g)$

$T = 8 \text{ кг} \times (2 \text{ м/с²} + 10 \text{ м/с²}) = 8 \times 12 \text{ Н} = 96 \text{ Н}$

Ответ: ускорение $a = 2 \text{ м/с²}$, сила натяжения нити $T = 96 \text{ Н}$.