Вариант 2, страница 106 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

Контрольные работы. КР-5. Применение законов Ньютона - страница 106.

Условие.

Вариант 3

I

1. Рассчитайте силу, которую необходимо приложить, чтобы поднять по наклонной плоскости тело массой 7 кг с ускорением $2,4 \text{ м}/\text{с}^2$, если угол наклона наклонной плоскости к горизонту равен $15^\circ$. Трение не учитывать.

2. С какой силой космонавт массой 70 кг, находящийся в космическом корабле, движущемся вверх с ускорением $40 \text{ м}/\text{с}^2$, давит на кресло кабины?

II

3. Лифт опускается равноускоренно и в первые $10 \text{ с}$ проходит $10 \text{ м}$. На сколько уменьшится вес пассажира массой 70 кг, который находится в этом лифте?

4. Рассчитайте ускорение, с которым тело соскальзывает с наклонной плоскости, имеющей угол наклона $30^\circ$, если коэффициент трения равен 0,2.

III

5. Брусок начинает соскальзывать с вершины наклонной плоскости, имеющей высоту $10 \text{ м}$ и угол наклона $30^\circ$. Какова скорость тела в конце спуска и продолжительность спуска, если коэффициент трения тела о плоскость равен 0,1?

6. Определите ускорение и силы натяжения нитей (рис. 61), если массы грузов равны $m_1 = 3 \text{ кг}$, $m_2 = 4 \text{ кг}$, $m_3 = 5 \text{ кг}$, а угол наклона $\alpha = 30^\circ$. Коэффициент трения равен 0,2.

Рис. 61

Решение.

1. Рассчитайте силу, которую необходимо приложить, чтобы поднять по наклонной плоскости тело массой 7 кг с ускорением 2,4 м/с², если угол наклона наклонной плоскости к горизонту равен 15°. Трение не учитывать.

Дано:
$m = 7$ кг
$a = 2,4$ м/с²
$\alpha = 15°$
$g \approx 9,8$ м/с²

Найти:

$\text{F}$ - ?

Решение:

На тело, движущееся вверх по наклонной плоскости, действуют три силы: сила тяжести $mg$, направленная вертикально вниз, сила реакции опоры $\text{N}$, перпендикулярная плоскости, и приложенная сила $\text{F}$, направленная вдоль плоскости вверх. Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось, параллельную наклонной плоскости и направленную вверх:
$ma = F - F_{т \parallel}$
где $F_{т \parallel}$ – проекция силы тяжести на эту ось: $F_{т \parallel} = mg \sin(\alpha)$.
Поскольку трение не учитывается, уравнение движения принимает вид:
$ma = F - mg \sin(\alpha)$
Выразим искомую силу $\text{F}$:
$F = ma + mg \sin(\alpha) = m(a + g \sin(\alpha))$
Подставим числовые значения, учитывая, что $\sin(15°) \approx 0,259$:
$F = 7 \cdot (2,4 + 9,8 \cdot 0,259) = 7 \cdot (2,4 + 2,5382) = 7 \cdot 4,9382 \approx 34,57$ Н.

Ответ: приложенная сила равна примерно $34,57$ Н.

2. С какой силой космонавт массой 70 кг, находящийся в космическом корабле, движущемся вверх с ускорением 40 м/с², давит на кресло кабины?

Дано:
$m = 70$ кг
$a = 40$ м/с² (направлено вверх)
$g \approx 9,8$ м/с²

Найти:

$\text{P}$ - ?

Решение:

Сила, с которой космонавт давит на кресло, называется весом $\text{P}$. По третьему закону Ньютона, эта сила равна по модулю и противоположна по направлению силе реакции опоры $\text{N}$, действующей на космонавта со стороны кресла. На космонавта действуют две силы: сила тяжести $mg$ (вниз) и сила реакции опоры $\text{N}$ (вверх). Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая этих сил сообщает космонавту ускорение $\text{a}$:
$ma = N - mg$
Отсюда находим силу реакции опоры:
$N = ma + mg = m(a + g)$
Вес космонавта равен силе реакции опоры: $P = N$.
$P = 70 \cdot (40 + 9,8) = 70 \cdot 49,8 = 3486$ Н.

Ответ: космонавт давит на кресло с силой $3486$ Н.

3. Лифт опускается равноускоренно и в первые 10 с проходит 10 м. На сколько уменьшится вес пассажира массой 70 кг, который находится в этом лифте?

Дано:
$t = 10$ с
$s = 10$ м
$m = 70$ кг
$v_0 = 0$ м/с
$g \approx 9,8$ м/с²

Найти:

$\Delta P$ - ?

Решение:

1. Найдем ускорение лифта $\text{a}$. Так как движение равноускоренное и начинается из состояния покоя ($v_0 = 0$), используем формулу пути:
$s = v_0t + \frac{at^2}{2} = \frac{at^2}{2}$
$a = \frac{2s}{t^2} = \frac{2 \cdot 10}{10^2} = \frac{20}{100} = 0,2$ м/с².
2. Вес пассажира $\text{P}$ в лифте, движущемся с ускорением $\text{a}$ вниз, определяется по формуле:
$P = m(g - a)$
3. Вес пассажира в неподвижном лифте (его сила тяжести) равен $P_0 = mg$.
4. Уменьшение веса $\Delta P$ равно разности между весом в покое и весом в движущемся лифте:
$\Delta P = P_0 - P = mg - m(g - a) = mg - mg + ma = ma$
5. Подставим числовые значения:
$\Delta P = 70 \cdot 0,2 = 14$ Н.

Ответ: вес пассажира уменьшится на $14$ Н.

4. Рассчитайте ускорение, с которым тело соскальзывает с наклонной плоскости, имеющей угол наклона 30°, если коэффициент трения равен 0,2.

Дано:
$\alpha = 30°$
$\mu = 0,2$
$g \approx 9,8$ м/с²

Найти:

$\text{a}$ - ?

Решение:

На тело, соскальзывающее с наклонной плоскости, действуют: сила тяжести $mg$, сила реакции опоры $\text{N}$ и сила трения скольжения $F_{тр}$. Выберем систему координат, в которой ось OX направлена вдоль наклонной плоскости вниз, а ось OY – перпендикулярно ей вверх. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси:
Ось OX: $ma = mg \sin(\alpha) - F_{тр}$
Ось OY: $0 = N - mg \cos(\alpha)$, откуда $N = mg \cos(\alpha)$.
Сила трения скольжения связана с силой реакции опоры: $F_{тр} = \mu N = \mu mg \cos(\alpha)$.
Подставим выражение для силы трения в уравнение для оси OX:
$ma = mg \sin(\alpha) - \mu mg \cos(\alpha)$
Сократив массу $\text{m}$, получим формулу для ускорения:
$a = g(\sin(\alpha) - \mu \cos(\alpha))$
Подставим значения: $\sin(30°) = 0,5$, $\cos(30°) \approx 0,866$.
$a = 9,8 \cdot (0,5 - 0,2 \cdot 0,866) = 9,8 \cdot (0,5 - 0,1732) = 9,8 \cdot 0,3268 \approx 3,20$ м/с².

Ответ: ускорение тела равно примерно $3,20$ м/с².

5. Брусок начинает соскальзывать с вершины наклонной плоскости, имеющей высоту 10 м и угол наклона 30°. Какова скорость тела в конце спуска и продолжительность спуска, если коэффициент трения тела о плоскость равен 0,1?

Дано:
$h = 10$ м
$\alpha = 30°$
$\mu = 0,1$
$v_0 = 0$ м/с
$g \approx 9,8$ м/с²

Найти:

$\text{v}$ - ?, $\text{t}$ - ?

Решение:

1. Найдем длину наклонной плоскости $\text{L}$:
$L = \frac{h}{\sin(\alpha)} = \frac{10}{\sin(30°)} = \frac{10}{0,5} = 20$ м.
2. Найдем ускорение бруска $\text{a}$. Формула для ускорения при соскальзывании с учетом трения (из задачи 4):
$a = g(\sin(\alpha) - \mu \cos(\alpha))$
$a = 9,8 \cdot (\sin(30°) - 0,1 \cdot \cos(30°)) = 9,8 \cdot (0,5 - 0,1 \cdot 0,866) = 9,8 \cdot (0,5 - 0,0866) = 9,8 \cdot 0,4134 \approx 4,05$ м/с².
3. Найдем скорость в конце спуска $\text{v}$. Используем формулу кинематики для равноускоренного движения без времени:
$v^2 = v_0^2 + 2aL$. Так как $v_0 = 0$, то $v = \sqrt{2aL}$.
$v = \sqrt{2 \cdot 4,05 \cdot 20} = \sqrt{162} \approx 12,73$ м/с.
4. Найдем продолжительность спуска $\text{t}$. Используем формулу скорости:
$v = v_0 + at$. Так как $v_0 = 0$, то $t = \frac{v}{a}$.
$t = \frac{12,73}{4,05} \approx 3,14$ с.

Ответ: скорость тела в конце спуска примерно $12,73$ м/с, продолжительность спуска примерно $3,14$ с.

6. Определите ускорение и силы натяжения нитей (рис. 61), если массы грузов равны $m_1 = 3$ кг, $m_2 = 4$ кг, $m_3 = 5$ кг, а угол наклона $\alpha = 30°$. Коэффициент трения равен 0,2.

Дано:
$m_1 = 3$ кг
$m_2 = 4$ кг
$m_3 = 5$ кг
$\alpha = 30°$
$\mu = 0,2$
$g \approx 9,8$ м/с²

Найти:

$\text{a}$ - ?, $T_1$ - ?, $T_2$ - ?

Решение:

1. Определим направление движения. Сила, тянущая систему "вправо" (за счет груза $m_3$): $F_{вправо} = m_3g = 5 \cdot 9,8 = 49$ Н. Противодействующая сила тяжести, тянущая грузы $m_1$ и $m_2$ вниз по наклонной плоскости: $F_{влево} = (m_1+m_2)g \sin(\alpha) = (3+4) \cdot 9,8 \cdot \sin(30°) = 7 \cdot 9,8 \cdot 0,5 = 34,3$ Н. Поскольку $F_{вправо} > F_{влево}$, система будет двигаться так, что груз $m_3$ опускается, а грузы $m_1$ и $m_2$ поднимаются по наклонной плоскости. Силы трения будут направлены вниз по наклонной плоскости.
2. Запишем уравнения второго закона Ньютона для каждого тела. Ускорение $\text{a}$ у всех тел одинаково по модулю. $T_1$ – натяжение нити между $m_1$ и $m_2$, $T_2$ – натяжение нити, перекинутой через блок.
Для $m_1$: $m_1a = T_1 - m_1g \sin(\alpha) - \mu m_1g \cos(\alpha)$ (1)
Для $m_2$: $m_2a = T_2 - T_1 - m_2g \sin(\alpha) - \mu m_2g \cos(\alpha)$ (2)
Для $m_3$: $m_3a = m_3g - T_2$ (3)
3. Сложим все три уравнения, чтобы найти ускорение $\text{a}$:
$(m_1+m_2+m_3)a = (T_1 - m_1g \sin(\alpha) - \mu m_1g \cos(\alpha)) + (T_2 - T_1 - m_2g \sin(\alpha) - \mu m_2g \cos(\alpha)) + (m_3g - T_2)$
$(m_1+m_2+m_3)a = m_3g - (m_1+m_2)g \sin(\alpha) - \mu (m_1+m_2)g \cos(\alpha)$
$a = \frac{m_3g - (m_1+m_2)g(\sin(\alpha) + \mu \cos(\alpha))}{m_1+m_2+m_3}$
$a = \frac{5 \cdot 9,8 - (3+4) \cdot 9,8 \cdot (\sin(30°) + 0,2 \cdot \cos(30°))}{3+4+5} = \frac{49 - 7 \cdot 9,8 \cdot (0,5 + 0,2 \cdot 0,866)}{12} = \frac{49 - 68,6 \cdot (0,6732)}{12} = \frac{49 - 46,18}{12} = \frac{2,82}{12} \approx 0,235$ м/с².
4. Найдем силы натяжения. Из уравнения (3):
$T_2 = m_3g - m_3a = m_3(g-a) = 5(9,8 - 0,235) = 5 \cdot 9,565 = 47,825$ Н.
Из уравнения (1):
$T_1 = m_1a + m_1g(\sin(\alpha) + \mu \cos(\alpha)) = m_1(a + g(\sin(\alpha) + \mu \cos(\alpha)))$
$T_1 = 3 \cdot (0,235 + 9,8 \cdot (0,5 + 0,2 \cdot 0,866)) = 3 \cdot (0,235 + 9,8 \cdot 0,6732) = 3 \cdot (0,235 + 6,597) = 3 \cdot 6,832 \approx 20,50$ Н.

Ответ: ускорение системы $a \approx 0,235$ м/с², сила натяжения нити между грузами $m_1$ и $m_2$ равна $T_1 \approx 20,50$ Н, сила натяжения нити, перекинутой через блок, $T_2 \approx 47,83$ Н.