Вариант 4, страница 108 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

КР-5. Применение законов Ньютона. Контрольные работы - страница 108.

Условие.

Вариант 4

I

1. С наклонной плоскости, имеющей угол наклона $40^{\circ}$, соскальзывает тело массой 10 кг. Определите силу трения, если ускорение тела равно $2\text{ м/с}^2$.

2. Ракета на старте с поверхности Земли движется вертикально вверх с ускорением $20\text{ м/с}^2$. Каков вес космонавта массой 80 кг?

II

3. Какую силу необходимо приложить к телу массой 6 кг, чтобы оно перемещалось вверх по наклонной плоскости с ускорением $0,4\text{ м/с}^2$? Наклонная плоскость составляет с горизонтом угол $30^{\circ}$, а коэффициент трения равен 0,3.

4. Трамвайный вагон массой 15 т движется по выпуклому мосту радиусом кривизны 50 м. Определите скорость трамвая, если его вес на середине моста равен 102 кН.

III

5. Для удержания груза на наклонной плоскости, имеющей при основании угол $30^{\circ}$, необходимо приложить силу, равную 40 Н, направленную вдоль наклонной плоскости. А для равномерного подъема этого груза вверх по наклонной плоскости надо приложить силу, равную 80 Н. Рассчитайте коэффициент трения.

6. К концам невесомой нерастяжимой нити, перекинутой через невесомый неподвижный блок, подвешены два груза массами по 100 г каждый. На один из грузов положен перегрузок массой 50 г. При этом вся система приходит в движение. Найдите ускорение, с которым движутся грузы и перегрузок. Какова сила натяжения нити?

Решение.

1. Дано:

$\alpha = 40^\circ$

$m = 10 \text{ кг}$

$a = 2 \text{ м/с}^2$

Примем ускорение свободного падения $g = 10 \text{ м/с}^2$.

Найти:

$F_{тр}$ - ?

Решение:

Запишем второй закон Ньютона для тела, соскальзывающего с наклонной плоскости. Выберем систему координат, в которой ось OX направлена вдоль наклонной плоскости вниз, а ось OY перпендикулярна ей.

На тело действуют три силы: сила тяжести $mg$, сила нормальной реакции опоры $\text{N}$ и сила трения $F_{тр}$.

Проекция на ось OX:

$mg \sin\alpha - F_{тр} = ma$

Отсюда можем выразить силу трения:

$F_{тр} = mg \sin\alpha - ma = m(g \sin\alpha - a)$

Подставим числовые значения:

$F_{тр} = 10 \text{ кг} \cdot (10 \text{ м/с}^2 \cdot \sin40^\circ - 2 \text{ м/с}^2)$

Используем значение $\sin40^\circ \approx 0,643$.

$F_{тр} = 10 \cdot (10 \cdot 0,643 - 2) = 10 \cdot (6,43 - 2) = 10 \cdot 4,43 = 44,3 \text{ Н}$

Ответ: $F_{тр} = 44,3 \text{ Н}$.

2. Дано:

$a = 20 \text{ м/с}^2$

$m = 80 \text{ кг}$

$g = 10 \text{ м/с}^2$

Найти:

$\text{P}$ - ?

Решение:

Вес тела — это сила, с которой тело действует на опору или подвес. Когда ракета движется с ускорением вверх, на космонавта действуют сила тяжести $mg$ (вниз) и сила реакции опоры $\text{N}$ (вверх). По третьему закону Ньютона, вес космонавта $\text{P}$ равен по модулю силе реакции опоры $\text{N}$.

Запишем второй закон Ньютона для космонавта, направив ось OY вертикально вверх:

$N - mg = ma$

Отсюда сила реакции опоры:

$N = mg + ma = m(g + a)$

Тогда вес космонавта:

$P = N = m(g + a)$

Подставим значения:

$P = 80 \text{ кг} \cdot (10 \text{ м/с}^2 + 20 \text{ м/с}^2) = 80 \cdot 30 = 2400 \text{ Н} = 2,4 \text{ кН}$

Ответ: $P = 2400 \text{ Н}$.

3. Дано:

$m = 6 \text{ кг}$

$a = 0,4 \text{ м/с}^2$

$\alpha = 30^\circ$

$\mu = 0,3$

$g = 10 \text{ м/с}^2$

Найти:

$\text{F}$ - ?

Решение:

Запишем второй закон Ньютона для тела, движущегося вверх по наклонной плоскости. Направим ось OX вдоль плоскости вверх, а ось OY перпендикулярно ей.

На тело действуют: приложенная сила $\text{F}$, сила тяжести $mg$, сила нормальной реакции опоры $\text{N}$ и сила трения скольжения $F_{тр}$. Сила трения направлена против движения, то есть вниз вдоль наклонной плоскости.

Проекции на оси:

OX: $F - mg \sin\alpha - F_{тр} = ma$

OY: $N - mg \cos\alpha = 0 \implies N = mg \cos\alpha$

Сила трения скольжения определяется как $F_{тр} = \mu N = \mu mg \cos\alpha$.

Подставим выражение для силы трения в уравнение для оси OX:

$F - mg \sin\alpha - \mu mg \cos\alpha = ma$

Выразим искомую силу $\text{F}$:

$F = ma + mg \sin\alpha + \mu mg \cos\alpha = m(a + g(\sin\alpha + \mu \cos\alpha))$

Подставим числовые значения ($\sin30^\circ = 0,5$, $\cos30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866$):

$F = 6 \cdot (0,4 + 10 \cdot (0,5 + 0,3 \cdot 0,866)) = 6 \cdot (0,4 + 10 \cdot (0,5 + 0,2598))$

$F = 6 \cdot (0,4 + 10 \cdot 0,7598) = 6 \cdot (0,4 + 7,598) = 6 \cdot 7,998 \approx 48 \text{ Н}$

Ответ: $F \approx 48 \text{ Н}$.

4. Дано:

$m = 15 \text{ т}$

$R = 50 \text{ м}$

$P = 102 \text{ кН}$

$g = 10 \text{ м/с}^2$

Перевод в СИ:

$m = 15 \cdot 10^3 \text{ кг} = 15000 \text{ кг}$

$P = 102 \cdot 10^3 \text{ Н} = 102000 \text{ Н}$

Найти:

$\text{v}$ - ?

Решение:

В верхней точке выпуклого моста на вагон действуют сила тяжести $mg$ (вниз) и сила реакции опоры $\text{N}$ (вверх). Вес вагона $\text{P}$ по модулю равен силе реакции опоры $\text{N}$. Равнодействующая этих сил сообщает вагону центростремительное ускорение $a_c = \frac{v^2}{R}$, направленное к центру кривизны, то есть вниз.

Запишем второй закон Ньютона, направив ось OY вниз:

$mg - N = ma_c$

Подставим $N=P$ и $a_c = \frac{v^2}{R}$:

$mg - P = m\frac{v^2}{R}$

Выразим отсюда скорость $\text{v}$:

$v^2 = \frac{R(mg - P)}{m} = R(g - \frac{P}{m})$

$v = \sqrt{R(g - \frac{P}{m})}$

Подставим значения:

$v = \sqrt{50 \cdot (10 - \frac{102000}{15000})} = \sqrt{50 \cdot (10 - 6,8)} = \sqrt{50 \cdot 3,2} = \sqrt{160}$

$v = \sqrt{16 \cdot 10} = 4\sqrt{10} \approx 12,65 \text{ м/с}$

Ответ: $v = \sqrt{160} \text{ м/с} \approx 12,65 \text{ м/с}$.

5. Дано:

$\alpha = 30^\circ$

$F_{удерж} = 40 \text{ Н}$ (сила для удержания)

$F_{под} = 80 \text{ Н}$ (сила для равномерного подъема)

Найти:

$\mu$ - ?

Решение:

Рассмотрим два случая.

1. Удержание груза. Сила $F_{удерж}$ направлена вверх по наклонной плоскости. Груз стремится соскользнуть вниз, поэтому сила трения покоя $F_{тр}$ также направлена вверх. Условие равновесия:

$F_{удерж} + F_{тр} = mg \sin\alpha$

2. Равномерный подъем. Сила $F_{под}$ направлена вверх. Груз движется вверх, поэтому сила трения скольжения $F_{тр}$ направлена вниз. Условие равновесия (т.к. движение равномерное, ускорение равно нулю):

$F_{под} = mg \sin\alpha + F_{тр}$

Сила трения $F_{тр} = \mu N = \mu mg \cos\alpha$. Предполагаем, что сила трения покоя в первом случае достигла максимального значения и равна силе трения скольжения.

Получили систему из двух уравнений, подставив известные силы:

$ \left\{ \begin{array}{l} mg \sin\alpha - F_{тр} = 40 \\ mg \sin\alpha + F_{тр} = 80 \end{array} \right. $

Вычтем из второго уравнения первое:

$(mg \sin\alpha + F_{тр}) - (mg \sin\alpha - F_{тр}) = 80 - 40$

$2F_{тр} = 40 \implies F_{тр} = 20 \text{ Н}$

Сложим два уравнения:

$(mg \sin\alpha - F_{тр}) + (mg \sin\alpha + F_{тр}) = 40 + 80$

$2mg \sin\alpha = 120 \implies mg \sin\alpha = 60 \text{ Н}$

Так как $\alpha = 30^\circ$, то $\sin30^\circ = 0,5$.

$mg \cdot 0,5 = 60 \implies mg = 120 \text{ Н}$

Теперь найдем коэффициент трения из формулы для силы трения:

$F_{тр} = \mu N = \mu mg \cos\alpha$

$20 = \mu \cdot 120 \cdot \cos30^\circ$

$\cos30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$\mu = \frac{20}{120 \cdot \cos30^\circ} = \frac{1}{6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{3\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{9}$

$\mu \approx \frac{1,732}{9} \approx 0,192$

Ответ: $\mu = \frac{\sqrt{3}}{9} \approx 0,192$.

6. Дано:

$m_0 = 100 \text{ г}$ (масса каждого груза)

$\Delta m = 50 \text{ г}$ (масса перегрузка)

$g = 10 \text{ м/с}^2$

Перевод в СИ:

$m_0 = 0,1 \text{ кг}$

$\Delta m = 0,05 \text{ кг}$

Найти:

$\text{a}$ - ?, $\text{T}$ - ?

Решение:

Данная система является машиной Атвуда. Массы на концах нити:

$m_1 = m_0 + \Delta m = 0,1 + 0,05 = 0,15 \text{ кг}$

$m_2 = m_0 = 0,1 \text{ кг}$

Так как $m_1 > m_2$, груз $m_1$ будет опускаться, а груз $m_2$ — подниматься с одинаковым по модулю ускорением $\text{a}$.

Запишем второй закон Ньютона для каждого груза (направив оси в сторону движения):

Для груза $m_1$: $m_1g - T = m_1a$

Для груза $m_2$: $T - m_2g = m_2a$

Сложим эти два уравнения, чтобы найти ускорение $\text{a}$:

$(m_1g - T) + (T - m_2g) = m_1a + m_2a$

$(m_1 - m_2)g = (m_1 + m_2)a$

$a = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}g$

Подставим значения:

$a = \frac{0,15 - 0,1}{0,15 + 0,1} \cdot 10 = \frac{0,05}{0,25} \cdot 10 = \frac{1}{5} \cdot 10 = 2 \text{ м/с}^2$

Теперь найдем силу натяжения нити $\text{T}$, подставив $\text{a}$ во второе уравнение:

$T = m_2a + m_2g = m_2(a + g)$

$T = 0,1 \cdot (2 + 10) = 0,1 \cdot 12 = 1,2 \text{ Н}$

Ответ: $a = 2 \text{ м/с}^2$, $T = 1,2 \text{ Н}$.