Вариант 4, страница 96 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

Контрольные работы. КР-2. Свободное падение тел. Баллистическое движение - страница 96.

Условие.

Вариант 4

I

1. Рассчитайте время, за которое камень, начавший свободное падение, пройдет путь $20$ м.

2. Из вертолета, движущегося горизонтально со скоростью $40$ м/с, на высоте $500$ м сброшен груз без начальной скорости относительно вертолета. На каком расстоянии по горизонтали от места выброса упадет груз?

II

3. Во сколько раз нужно увеличить начальную скорость брошенного вверх тела, чтобы максимальная высота подъема увеличилась в 4 раза?

4. Мальчик ныряет в воду с крутого берега высотой $\text{5}$ м, имея после разбега скорость $\text{6}$ м/с, направленную горизонтально. Каковы модуль и направление скорости мальчика при достижении им поверхности воды?

III

5. Сосулька падает с крыши дома. Первую половину пути она пролетела за $\text{1}$ с. Сколько времени ей осталось лететь?

6. Самолет летит горизонтально на высоте $\text{8}$ км со скоростью $1800$ км/ч. За сколько километров до цели летчик должен сбросить бомбу, чтобы поразить цель?

Решение.

1. Дано:

$h = 20$ м
$v_0 = 0$ м/с
$g \approx 10$ м/с²
Найти:
$\text{t}$ - ?
Решение:
Движение камня является свободным падением, которое описывается формулой для равноускоренного движения. Путь, пройденный телом при свободном падении без начальной скорости, определяется формулой:
$h = \frac{gt^2}{2}$
Выразим из этой формулы время $\text{t}$:
$t^2 = \frac{2h}{g}$
$t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$
Подставим числовые значения:
$t = \sqrt{\frac{2 \cdot 20 \text{ м}}{10 \text{ м/с}^2}} = \sqrt{\frac{40}{10}} \text{ с} = \sqrt{4} \text{ с} = 2$ с.

Ответ: 2 с.

2. Дано:

$v_x = 40$ м/с
$h = 500$ м
$g \approx 10$ м/с²
Найти:
$\text{L}$ - ?
Решение:
Движение груза можно разложить на два независимых движения: равномерное по горизонтали и равноускоренное (свободное падение) по вертикали. Начальная скорость груза равна скорости вертолета и направлена горизонтально.
Время падения груза $\text{t}$ зависит только от высоты $\text{h}$ и ускорения свободного падения $\text{g}$. Найдем его из формулы для вертикального движения:
$h = \frac{gt^2}{2}$
$t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 500 \text{ м}}{10 \text{ м/с}^2}} = \sqrt{100} \text{ с} = 10$ с.
За это время груз пролетит по горизонтали расстояние $\text{L}$ со скоростью $v_x$:
$L = v_x \cdot t$
$L = 40 \text{ м/с} \cdot 10 \text{ с} = 400$ м.

Ответ: 400 м.

3. Дано:

$H_2 = 4H_1$
Найти:
$\frac{v_2}{v_1}$ - ?
Решение:
Максимальная высота подъема тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью $v_0$, определяется по формуле, вытекающей из закона сохранения энергии или кинематики: $H = \frac{v_0^2}{2g}$.
Пусть начальная скорость в первом случае равна $v_1$, а высота подъема $H_1$. Тогда $H_1 = \frac{v_1^2}{2g}$.
Во втором случае скорость равна $v_2$, а высота подъема $H_2 = 4H_1$. Тогда $H_2 = \frac{v_2^2}{2g}$.
Подставим выражение для $H_1$ в условие для $H_2$:
$4H_1 = \frac{v_2^2}{2g} \Rightarrow 4 \left( \frac{v_1^2}{2g} \right) = \frac{v_2^2}{2g}$
Сократим общие множители $\frac{1}{2g}$:
$4v_1^2 = v_2^2$
Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:
$v_2 = 2v_1$
Следовательно, отношение скоростей $\frac{v_2}{v_1} = 2$. Начальную скорость нужно увеличить в 2 раза.

Ответ: в 2 раза.

4. Дано:

$h = 5$ м
$v_x = 6$ м/с
$g \approx 10$ м/с²
Найти:
$\text{v}$ - ?, $\alpha$ - ?
Решение:
Скорость мальчика в любой момент времени имеет две составляющие: горизонтальную $v_x$ и вертикальную $v_y$.
Горизонтальная составляющая скорости остается постоянной на протяжении всего полета, так как сопротивление воздуха не учитывается: $v_x = 6$ м/с.
Вертикальная составляющая скорости $v_y$ в момент достижения поверхности воды находится из формулы для равноускоренного движения без начальной вертикальной скорости: $v_y^2 = 2gh$.
$v_y = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 5 \text{ м}} = \sqrt{100} \text{ м/с} = 10$ м/с.
Модуль результирующей скорости $\text{v}$ найдем по теореме Пифагора:
$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{6^2 + 10^2} = \sqrt{36 + 100} = \sqrt{136} \approx 11,7$ м/с.
Направление скорости определим как угол $\alpha$ к горизонту. Тангенс этого угла равен отношению вертикальной составляющей скорости к горизонтальной:
$\tan(\alpha) = \frac{v_y}{v_x} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} \approx 1,67$
$\alpha = \arctan\left(\frac{5}{3}\right) \approx 59^\circ$.

Ответ: модуль скорости $\approx 11,7$ м/с, направление — под углом $\approx 59^\circ$ к горизонту.

5. Дано:

$t_1 = 1$ с (время пролета первой половины пути)
Найти:
$t_2$ - ? (время пролета второй половины пути)
Решение:
Пусть $\text{H}$ — полная высота, а $\text{T}$ — полное время падения. Первая половина пути — это $H/2$.
Время $t_1$, за которое сосулька пролетела первую половину пути, связано с этой высотой формулой: $\frac{H}{2} = \frac{gt_1^2}{2}$. Отсюда $H = gt_1^2$.
Полный путь $\text{H}$ сосулька пролетает за полное время $\text{T}$:
$H = \frac{gT^2}{2}$.
Приравняем два выражения для $\text{H}$:
$gt_1^2 = \frac{gT^2}{2}$
$t_1^2 = \frac{T^2}{2} \Rightarrow T^2 = 2t_1^2 \Rightarrow T = t_1\sqrt{2}$.
Подставим $t_1 = 1$ с:
$T = 1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$ с.
Время, оставшееся для полета, $t_2$, равно разности полного времени $\text{T}$ и времени пролета первой половины пути $t_1$:
$t_2 = T - t_1 = (\sqrt{2} - 1)$ с $\approx (1,414 - 1)$ с $\approx 0,414$ с.
Округлим до сотых: $0,41$ с.

Ответ: $\approx 0,41$ с.

6. Дано:

$h = 8$ км
$v = 1800$ км/ч
$g \approx 10$ м/с²
Переведем данные в систему СИ:
$h = 8 \text{ км} = 8000$ м
$v = 1800 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 1800 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 500$ м/с
Найти:
$\text{L}$ (в км) - ?
Решение:
Движение бомбы можно рассматривать как сумму двух движений: равномерного по горизонтали со скоростью самолета и свободного падения по вертикали.
Найдем время падения бомбы $\text{t}$ из высоты $\text{h}$:
$h = \frac{gt^2}{2}$
$t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 8000 \text{ м}}{10 \text{ м/с}^2}} = \sqrt{1600} \text{ с} = 40$ с.
За это время бомба пролетит по горизонтали расстояние $\text{L}$ (дальность полета):
$L = v \cdot t$
$L = 500 \text{ м/с} \cdot 40 \text{ с} = 20000$ м.
Переведем расстояние в километры:
$L = 20000 \text{ м} = 20$ км.

Ответ: 20 км.