Вариант 4, страница 116 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

КР-7. Закон сохранения энергии. Контрольные работы - страница 116.

Условие.

Вариант 4

I

1. Найдите высоту, на которой тело массой 5 кг будет обладать потенциальной энергией, равной 500 Дж.

2. Рассчитайте кинетическую энергию тела массой 50 кг, движущегося со скоростью 40 км/с.

II

3. Определите, с какой скоростью надо бросить вниз мяч с высоты 3 м, чтобы он подпрыгнул на высоту 8 м. Удар мяча о землю считать абсолютно упругим.

4. При подготовке игрушечного пистолета к выстрелу пружину жесткостью 800 Н/м сжали на 5 см. Какую скорость приобретает пуля массой 20 г при выстреле в горизонтальном направлении?

III

5. Санки съезжают с горы высотой 5 м и углом наклона $30^{\circ}$ и движутся дальше по горизонтальному участку. Коэффициент трения на всем пути санок одинаков и равен 0,1. Какое расстояние пройдут санки по горизонтальному участку до полной остановки?

6. Мальчик на коньках разгоняется до скорости 11 м/с и вкатывается на ледяную горку. До какой высоты он сможет подняться, если коэффициент трения равен 0,1, а угол наклона горки к горизонту $45^{\circ}$?

Решение.

1. Дано:

$m = 5$ кг
$E_p = 500$ Дж
$g \approx 10$ м/с²

Найти:

$\text{h}$

Решение:

Потенциальная энергия тела в поле тяготения Земли определяется по формуле: $E_p = mgh$, где $\text{m}$ – масса тела, $\text{g}$ – ускорение свободного падения, $\text{h}$ – высота над нулевым уровнем.

Выразим высоту $\text{h}$ из этой формулы: $h = \frac{E_p}{mg}$.

Подставим известные значения: $h = \frac{500 \text{ Дж}}{5 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2} = \frac{500}{50} \text{ м} = 10 \text{ м}$.

Ответ: 10 м.

2. Дано:

$m = 50$ кг
$v = 40$ км/с

Переведем скорость в систему СИ: $v = 40 \text{ км/с} = 40 \cdot 1000 \text{ м/с} = 40000 \text{ м/с}$.

Найти:

$E_k$

Решение:

Кинетическая энергия тела рассчитывается по формуле: $E_k = \frac{mv^2}{2}$, где $\text{m}$ – масса тела, $\text{v}$ – его скорость.

Подставим значения в формулу: $E_k = \frac{50 \text{ кг} \cdot (40000 \text{ м/с})^2}{2} = \frac{50 \cdot 1600000000}{2} \text{ Дж} = 25 \cdot 1600000000 \text{ Дж} = 40000000000 \text{ Дж}$.

Результат можно выразить в гигаджоулях: $40000000000 \text{ Дж} = 40 \text{ ГДж}$.

Ответ: 40 ГДж.

3. Дано:

$h_1 = 3$ м
$h_2 = 8$ м
$g \approx 10$ м/с²
Удар абсолютно упругий

Найти:

$v_0$

Решение:

Так как удар о землю абсолютно упругий, полная механическая энергия мяча сохраняется. Энергия на высоте $h_1$ при броске вниз со скоростью $v_0$ равна энергии на высоте $h_2$ после отскока.

Энергия в начальный момент времени на высоте $h_1$: $E_1 = mgh_1 + \frac{mv_0^2}{2}$.

Энергия в конечный момент времени на максимальной высоте подъема $h_2$: $E_2 = mgh_2$.

По закону сохранения энергии $E_1 = E_2$: $mgh_1 + \frac{mv_0^2}{2} = mgh_2$.

Сократим массу $\text{m}$: $gh_1 + \frac{v_0^2}{2} = gh_2$.

Выразим $v_0$: $\frac{v_0^2}{2} = gh_2 - gh_1 = g(h_2 - h_1)$.

$v_0^2 = 2g(h_2 - h_1)$.

$v_0 = \sqrt{2g(h_2 - h_1)}$.

Подставим числовые значения: $v_0 = \sqrt{2 \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot (8 \text{ м} - 3 \text{ м})} = \sqrt{20 \cdot 5} \text{ м/с} = \sqrt{100} \text{ м/с} = 10 \text{ м/с}$.

Ответ: 10 м/с.

4. Дано:

$k = 800$ Н/м
$x = 5$ см
$m = 20$ г

Переведем данные в систему СИ:

$x = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

$m = 20 \text{ г} = 0.02 \text{ кг}$

Найти:

$\text{v}$

Решение:

По закону сохранения энергии, потенциальная энергия сжатой пружины полностью переходит в кинетическую энергию пули при выстреле.

Потенциальная энергия пружины: $E_p = \frac{kx^2}{2}$.

Кинетическая энергия пули: $E_k = \frac{mv^2}{2}$.

Приравниваем энергии: $\frac{kx^2}{2} = \frac{mv^2}{2}$.

Отсюда $kx^2 = mv^2$.

Выражаем скорость $\text{v}$: $v = \sqrt{\frac{kx^2}{m}} = x\sqrt{\frac{k}{m}}$.

Подставим числовые значения: $v = 0.05 \text{ м} \cdot \sqrt{\frac{800 \text{ Н/м}}{0.02 \text{ кг}}} = 0.05 \cdot \sqrt{40000} \text{ м/с} = 0.05 \cdot 200 \text{ м/с} = 10 \text{ м/с}$.

Ответ: 10 м/с.

5. Дано:

$h = 5$ м
$\alpha = 30^\circ$
$\mu = 0.1$
$g \approx 10$ м/с²

Найти:

$L_{гор}$

Решение:

Воспользуемся законом изменения механической энергии: изменение полной механической энергии системы равно работе неконсервативных сил (в данном случае, силы трения). $E_{кон} - E_{нач} = A_{тр}$.

Начальная энергия системы (санки на вершине горы): $E_{нач} = mgh$.

Конечная энергия системы (санки остановились): $E_{кон} = 0$.

Работа силы трения $A_{тр}$ состоит из работы на наклонном участке ($A_{тр1}$) и на горизонтальном ($A_{тр2}$).

Длина наклонного участка: $L_{накл} = \frac{h}{\sin\alpha}$. Сила трения на нем: $F_{тр1} = \mu N_1 = \mu mg\cos\alpha$. Работа: $A_{тр1} = -F_{тр1} \cdot L_{накл} = -\mu mg\cos\alpha \cdot \frac{h}{\sin\alpha} = -\mu mgh\cot\alpha$.

На горизонтальном участке сила трения $F_{тр2} = \mu N_2 = \mu mg$. Работа: $A_{тр2} = -F_{тр2} \cdot L_{гор} = -\mu mgL_{гор}$.

Суммарная работа трения: $A_{тр} = A_{тр1} + A_{тр2} = -\mu mgh\cot\alpha - \mu mgL_{гор}$.

Подставляем в закон изменения энергии: $0 - mgh = -\mu mgh\cot\alpha - \mu mgL_{гор}$.

Разделим обе части на $-mg$: $h = \mu h\cot\alpha + \mu L_{гор}$.

Выразим $L_{гор}$: $\mu L_{гор} = h - \mu h\cot\alpha = h(1 - \mu\cot\alpha)$.

$L_{гор} = \frac{h(1 - \mu\cot\alpha)}{\mu}$.

Подставим числовые значения ($\cot(30^\circ) = \sqrt{3} \approx 1.732$):

$L_{гор} = \frac{5 \text{ м} \cdot (1 - 0.1 \cdot \sqrt{3})}{0.1} = 50 \cdot (1 - 0.1 \cdot 1.732) \text{ м} = 50 \cdot (1 - 0.1732) \text{ м} = 50 \cdot 0.8268 \text{ м} \approx 41.34 \text{ м}$.

Ответ: ≈ 41,34 м.

6. Дано:

$v = 11$ м/с
$\mu = 0.1$
$\alpha = 45^\circ$
$g \approx 10$ м/с²

Найти:

$\text{h}$

Решение:

Используем закон изменения механической энергии: $E_{кон} - E_{нач} = A_{тр}$.

Начальная энергия у подножия горки: $E_{нач} = \frac{mv^2}{2}$.

Конечная энергия на максимальной высоте $\text{h}$: $E_{кон} = mgh$.

Работа силы трения при подъеме. Длина пути по склону $L = \frac{h}{\sin\alpha}$. Сила трения $F_{тр} = \mu N = \mu mg\cos\alpha$. Работа трения $A_{тр} = -F_{тр} \cdot L = -\mu mg\cos\alpha \cdot \frac{h}{\sin\alpha} = -\mu mgh\cot\alpha$.

Подставляем все в закон: $mgh - \frac{mv^2}{2} = -\mu mgh\cot\alpha$.

Разделим на $\text{m}$: $gh - \frac{v^2}{2} = -\mu gh\cot\alpha$.

Сгруппируем слагаемые с $\text{h}$: $gh + \mu gh\cot\alpha = \frac{v^2}{2}$.

$gh(1 + \mu\cot\alpha) = \frac{v^2}{2}$.

Выразим высоту $\text{h}$: $h = \frac{v^2}{2g(1 + \mu\cot\alpha)}$.

Подставим числовые значения ($\cot(45^\circ) = 1$):

$h = \frac{(11 \text{ м/с})^2}{2 \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot (1 + 0.1 \cdot 1)} = \frac{121}{20 \cdot 1.1} \text{ м} = \frac{121}{22} \text{ м} = 5.5 \text{ м}$.

Ответ: 5,5 м.