Вариант 3, страница 123 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

КР-9. Термодинамика. Контрольные работы - страница 123.

Условие.

Вариант 3

I

1. Как изменится внутренняя энергия $400 \text{ г}$ гелия при увеличении температуры на $20 \text{ °С}$?

2. Определите КПД идеальной тепловой машины, имеющей температуру нагревателя $480 \text{ °С}$, а температуру холодильника — $30 \text{ °С}$.

II

3. Воздух массой $200 \text{ г}$ нагревают при постоянном давлении от $40 \text{ до } 80 \text{ °С}$, в результате чего его объем увеличивается на $0,01 \text{ м}^3$. Насколько при этом изменяется внутренняя энергия воздуха, если его давление равно $150 \text{ кПа}$? Удельная теплоемкость воздуха при постоянном давлении равна $1000 \text{ Дж}/(\text{кг} \cdot \text{°С})$, молярная масса воздуха — $29 \text{ г}/\text{моль}$.

4. В цилиндре объемом $0,7 \text{ м}^3$ находится газ при температуре $280 \text{ К}$. Определите работу газа при расширении в результате нагревания на $16 \text{ К}$, если давление постоянно и равно $100 \text{ кПа}$.

III

5. Для нагревания $2,5 \text{ кг}$ идеального газа на $8 \text{ °С}$ при постоянном давлении потребовалось на $83,1 \text{ кДж}$ большее количество теплоты, чем на нагревание того же газа на $8 \text{ °С}$ при постоянном объеме. Определите молярную массу газа.

6. Воздух, занимающий при давлении $200 \text{ кПа}$ объем $200 \text{ л}$, изобарно нагревают до температуры $500 \text{ К}$. Масса воздуха $580 \text{ г}$, молярная масса воздуха $29 \text{ г}/\text{моль}$. Определите работу воздуха.

Решение.

1. Дано

$m = 400 \text{ г}$
$\Delta t = 20 \text{ °C}$
$M(\text{He}) = 4 \text{ г/моль}$

$m = 0,4 \text{ кг}$
$\Delta T = 20 \text{ К}$
$M = 0,004 \text{ кг/моль}$

Найти:

$\Delta U$

Решение

Гелий — одноатомный идеальный газ, число степеней свободы для него $i=3$. Изменение внутренней энергии идеального газа вычисляется по формуле:

$\Delta U = \frac{i}{2} \nu R \Delta T$

где $\nu$ — количество вещества, $\text{R}$ — универсальная газовая постоянная ($R \approx 8,31 \text{ Дж/(моль·К)}$), $\Delta T$ — изменение абсолютной температуры.

Количество вещества $\nu$ найдем по формуле:

$\nu = \frac{m}{M}$

$\nu = \frac{0,4 \text{ кг}}{0,004 \text{ кг/моль}} = 100 \text{ моль}$

Теперь можем рассчитать изменение внутренней энергии:

$\Delta U = \frac{3}{2} \cdot 100 \text{ моль} \cdot 8,31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль·К}} \cdot 20 \text{ К} = 24930 \text{ Дж} = 24,93 \text{ кДж}$

Ответ: внутренняя энергия гелия увеличится на 24,93 кДж.

2. Дано

$t_н = 480 \text{ °C}$
$t_х = 30 \text{ °C}$

$T_н = 480 + 273 = 753 \text{ К}$
$T_х = 30 + 273 = 303 \text{ К}$

Найти:

$\eta$

Решение

Коэффициент полезного действия (КПД) идеальной тепловой машины (цикла Карно) определяется по формуле:

$\eta = \frac{T_н - T_х}{T_н} = 1 - \frac{T_х}{T_н}$

где $T_н$ — абсолютная температура нагревателя, а $T_х$ — абсолютная температура холодильника.

Подставим значения температур в Кельвинах:

$\eta = 1 - \frac{303 \text{ К}}{753 \text{ К}} \approx 1 - 0,4024 = 0,5976$

Выразим КПД в процентах:

$\eta \approx 59,8 \%$

Ответ: КПД идеальной тепловой машины составляет примерно 59,8 %.

3. Дано

$m = 200 \text{ г}$
$t_1 = 40 \text{ °C}$
$t_2 = 80 \text{ °C}$
$\Delta V = 0,01 \text{ м}^3$
$P = 150 \text{ кПа}$
$c_p = 1000 \frac{\text{Дж}}{\text{кг·°C}}$

$m = 0,2 \text{ кг}$
$\Delta T = t_2 - t_1 = 80 - 40 = 40 \text{ °C} = 40 \text{ К}$
$P = 150 \cdot 10^3 \text{ Па}$
$c_p = 1000 \frac{\text{Дж}}{\text{кг·К}}$

Найти:

$\Delta U$

Решение

Нагревание воздуха происходит при постоянном давлении (изобарный процесс). Согласно первому закону термодинамики, количество теплоты $\text{Q}$, переданное газу, идет на изменение его внутренней энергии $\Delta U$ и на совершение газом работы $\text{A}$:

$Q = \Delta U + A$

Отсюда изменение внутренней энергии:

$\Delta U = Q - A$

Количество теплоты, полученное воздухом в изобарном процессе, равно:

$Q = c_p m \Delta T$

$Q = 1000 \frac{\text{Дж}}{\text{кг·К}} \cdot 0,2 \text{ кг} \cdot 40 \text{ К} = 8000 \text{ Дж}$

Работа, совершаемая газом при постоянном давлении, равна:

$A = P \Delta V$

$A = 150 \cdot 10^3 \text{ Па} \cdot 0,01 \text{ м}^3 = 1500 \text{ Дж}$

Теперь найдем изменение внутренней энергии:

$\Delta U = 8000 \text{ Дж} - 1500 \text{ Дж} = 6500 \text{ Дж} = 6,5 \text{ кДж}$

Ответ: внутренняя энергия воздуха изменилась на 6,5 кДж.

4. Дано

$V_1 = 0,7 \text{ м}^3$
$T_1 = 280 \text{ К}$
$\Delta T = 16 \text{ К}$
$P = 100 \text{ кПа}$

$P = 100 \cdot 10^3 \text{ Па}$

Найти:

$\text{A}$

Решение

Процесс расширения газа происходит при постоянном давлении (изобарный процесс). Работа газа в таком процессе вычисляется по формуле:

$A = P \cdot \Delta V = P \cdot (V_2 - V_1)$

Для нахождения изменения объема $\Delta V$ воспользуемся законом Гей-Люссака для изобарного процесса:

$\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$

Конечная температура $T_2 = T_1 + \Delta T = 280 \text{ К} + 16 \text{ К} = 296 \text{ К}$.

Выразим конечный объем $V_2$:

$V_2 = V_1 \frac{T_2}{T_1}$

Подставим это выражение в формулу для работы:

$A = P \cdot (V_1 \frac{T_2}{T_1} - V_1) = P V_1 (\frac{T_2}{T_1} - 1) = P V_1 \frac{T_2 - T_1}{T_1} = P V_1 \frac{\Delta T}{T_1}$

Подставим числовые значения:

$A = 100 \cdot 10^3 \text{ Па} \cdot 0,7 \text{ м}^3 \cdot \frac{16 \text{ К}}{280 \text{ К}} = 70000 \cdot \frac{16}{280} = 4000 \text{ Дж} = 4 \text{ кДж}$

Ответ: работа газа при расширении равна 4 кДж.

5. Дано

$m = 2,5 \text{ кг}$
$\Delta t = 8 \text{ °C}$
$Q_p - Q_v = 83,1 \text{ кДж}$

$\Delta T = 8 \text{ К}$
$Q_p - Q_v = 83,1 \cdot 10^3 \text{ Дж}$

Найти:

$\text{M}$

Решение

Количество теплоты $Q_p$, необходимое для нагревания газа на $\Delta T$ при постоянном давлении, равно $Q_p = \nu C_p \Delta T$.

Количество теплоты $Q_v$, необходимое для нагревания газа на $\Delta T$ при постоянном объеме, равно $Q_v = \nu C_v \Delta T$.

Здесь $\nu$ — количество вещества, $C_p$ и $C_v$ — молярные теплоемкости при постоянном давлении и объеме соответственно.

Разность этих количеств теплоты:

$Q_p - Q_v = \nu (C_p - C_v) \Delta T$

Согласно уравнению Майера, $C_p - C_v = R$, где $\text{R}$ — универсальная газовая постоянная ($R \approx 8,31 \text{ Дж/(моль·К)}$).

Тогда $Q_p - Q_v = \nu R \Delta T$.

Количество вещества $\nu$ связано с массой $\text{m}$ и молярной массой $\text{M}$ газа соотношением $\nu = \frac{m}{M}$.

Подставим это в предыдущую формулу:

$Q_p - Q_v = \frac{m}{M} R \Delta T$

Выразим отсюда молярную массу $\text{M}$:

$M = \frac{m R \Delta T}{Q_p - Q_v}$

Подставим числовые значения:

$M = \frac{2,5 \text{ кг} \cdot 8,31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль·К}} \cdot 8 \text{ К}}{83,1 \cdot 10^3 \text{ Дж}} = \frac{2,5 \cdot 8 \cdot 8,31}{83100} = \frac{20 \cdot 8,31}{83100} = \frac{166,2}{83100} = 0,002 \frac{\text{кг}}{\text{моль}}$

Переведем в более привычные единицы г/моль:

$M = 0,002 \frac{\text{кг}}{\text{моль}} = 2 \frac{\text{г}}{\text{моль}}$

Ответ: молярная масса газа равна 2 г/моль.

6. Дано

$P = 200 \text{ кПа}$
$V_1 = 200 \text{ л}$
$T_2 = 500 \text{ К}$
$m = 580 \text{ г}$
$M = 29 \text{ г/моль}$

$P = 200 \cdot 10^3 \text{ Па}$
$V_1 = 200 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 = 0,2 \text{ м}^3$
$m = 0,58 \text{ кг}$
$M = 0,029 \text{ кг/моль}$

Найти:

$\text{A}$

Решение

Процесс нагревания воздуха изобарный (давление постоянно). Работа газа в изобарном процессе может быть найдена по формуле, следующей из уравнения состояния идеального газа:

$A = P \Delta V = \nu R \Delta T = \nu R (T_2 - T_1)$

Сначала найдем количество вещества (воздуха):

$\nu = \frac{m}{M} = \frac{0,58 \text{ кг}}{0,029 \text{ кг/моль}} = 20 \text{ моль}$

Теперь найдем начальную температуру $T_1$ из уравнения Менделеева-Клапейрона для начального состояния:

$P V_1 = \nu R T_1$

$T_1 = \frac{P V_1}{\nu R}$

$T_1 = \frac{200 \cdot 10^3 \text{ Па} \cdot 0,2 \text{ м}^3}{20 \text{ моль} \cdot 8,31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль·К}}} = \frac{40000}{166,2} \approx 240,7 \text{ К}$

Теперь можем вычислить работу:

$A = \nu R (T_2 - T_1) = 20 \text{ моль} \cdot 8,31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль·К}} \cdot (500 \text{ К} - 240,7 \text{ К})$

$A = 20 \cdot 8,31 \cdot 259,3 = 166,2 \cdot 259,3 \approx 43095,66 \text{ Дж} \approx 43,1 \text{ кДж}$

Ответ: работа воздуха равна 43,1 кДж.