Вариант 4, страница 124 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

Контрольные работы. КР-9. Термодинамика - страница 124.

Условие.

Вариант 4

I

1. При сообщении газу количества теплоты $6 \, \text{МДж}$ он расширился и совершил работу $2 \, \text{МДж}$. Найдите изменение внутренней энергии газа. Увеличилась она или уменьшилась?

2. Идеальный тепловой двигатель получает от нагревателя в каждую секунду $7200 \, \text{кДж}$ энергии и отдает холодильнику $6400 \, \text{кДж}$. Найдите КПД двигателя.

II

3. Вычислите изменение внутренней энергии водорода, находящегося в закрытом сосуде, при его нагревании на $10 \, \degree\text{C}$. Масса водорода $2 \, \text{кг}$.

4. Температура нагревателя $150 \, \degree\text{C}$, а холодильника — $20 \, \degree\text{C}$. От нагревателя взято $10^5 \, \text{кДж}$ энергии. Как велика работа, произведенная машиной, если машина идеальная?

III

5. Найдите, какая часть количества теплоты, сообщенной одноатомному газу при изобарном процессе, идет на увеличение внутренней энергии и какая часть — на совершение работы.

6. В идеальном тепловом двигателе абсолютная температура нагревателя в 3 раза выше, чем температура холодильника. Нагреватель передал газу количество теплоты $40 \, \text{кДж}$. Определите работу, совершенную газом.

Решение.

1. Дано:

$Q = 6 \text{ МДж}$
$A = 2 \text{ МДж}$

$Q = 6 \times 10^6 \text{ Дж}$
$A = 2 \times 10^6 \text{ Дж}$

Найти: $\Delta U$ - ?

Решение:

Согласно первому закону термодинамики, количество теплоты, переданное системе ($\text{Q}$), идет на изменение ее внутренней энергии ($\Delta U$) и на совершение работы системой против внешних сил ($\text{A}$): $Q = \Delta U + A$
Отсюда, изменение внутренней энергии $\Delta U$ можно выразить как: $\Delta U = Q - A$
Подставим числовые значения: $\Delta U = 6 \text{ МДж} - 2 \text{ МДж} = 4 \text{ МДж}$
Так как изменение внутренней энергии $\Delta U$ положительно ($\Delta U > 0$), то внутренняя энергия газа увеличилась.

Ответ: изменение внутренней энергии газа равно 4 МДж; внутренняя энергия увеличилась.

2. Дано:

$Q_1 = 7200 \text{ кДж}$
$Q_2 = 6400 \text{ кДж}$

$Q_1 = 7.2 \times 10^6 \text{ Дж}$
$Q_2 = 6.4 \times 10^6 \text{ Дж}$

Найти: $\eta$ - ?

Решение:

Коэффициент полезного действия (КПД) теплового двигателя определяется как отношение полезной работы $\text{A}$, совершенной двигателем, к количеству теплоты $Q_1$, полученному от нагревателя: $\eta = \frac{A}{Q_1}$
Полезная работа равна разности между количеством теплоты, полученным от нагревателя, и количеством теплоты, отданным холодильнику: $A = Q_1 - Q_2$
Тогда формула для КПД примет вид: $\eta = \frac{Q_1 - Q_2}{Q_1} = 1 - \frac{Q_2}{Q_1}$
Подставим числовые значения: $\eta = \frac{7200 \text{ кДж} - 6400 \text{ кДж}}{7200 \text{ кДж}} = \frac{800}{7200} = \frac{1}{9}$
Выразим КПД в процентах: $\eta = \frac{1}{9} \times 100\% \approx 11.1\%$

Ответ: КПД двигателя примерно 11.1%.

3. Дано:

Вещество: водород ($H_2$)
$m = 2 \text{ кг}$
$\Delta t = 10 \text{ °С}$

$\Delta T = 10 \text{ K}$
Молярная масса водорода $M(H_2) \approx 2 \times 10^{-3} \text{ кг/моль}$
Универсальная газовая постоянная $R \approx 8.31 \text{ Дж/(моль·К)}$

Найти: $\Delta U$ - ?

Решение:

Водород ($H_2$) — это двухатомный газ, поэтому число степеней свободы для его молекул равно $i=5$.
Изменение внутренней энергии идеального газа вычисляется по формуле: $\Delta U = \frac{i}{2} \nu R \Delta T$
где $\nu$ — количество вещества (число молей), а $\Delta T$ — изменение абсолютной температуры, которое равно изменению температуры по шкале Цельсия ($\Delta T = \Delta t = 10 \text{ K}$).
Найдем количество вещества водорода: $\nu = \frac{m}{M} = \frac{2 \text{ кг}}{2 \times 10^{-3} \text{ кг/моль}} = 1000 \text{ моль}$
Так как сосуд закрытый, процесс нагревания является изохорным (объем не меняется, $V = const$). В этом процессе работа газа равна нулю ($A=0$), и все подведенное тепло идет на увеличение внутренней энергии.
Подставим все значения в формулу для изменения внутренней энергии: $\Delta U = \frac{5}{2} \times 1000 \text{ моль} \times 8.31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль·К}} \times 10 \text{ K} = 207750 \text{ Дж}$
Переведем результат в килоджоули: $\Delta U = 207.75 \text{ кДж} \approx 208 \text{ кДж}$

Ответ: изменение внутренней энергии водорода составляет примерно 208 кДж.

4. Дано:

$t_1 = 150 \text{ °С}$
$t_2 = 20 \text{ °С}$
$Q_1 = 10^5 \text{ кДж}$

$T_1 = 150 + 273 = 423 \text{ K}$
$T_2 = 20 + 273 = 293 \text{ K}$
$Q_1 = 10^5 \times 10^3 \text{ Дж} = 10^8 \text{ Дж}$

Найти: $\text{A}$ - ?

Решение:

Идеальная тепловая машина работает по циклу Карно. КПД идеальной тепловой машины зависит только от абсолютных температур нагревателя ($T_1$) и холодильника ($T_2$): $\eta = \frac{T_1 - T_2}{T_1} = 1 - \frac{T_2}{T_1}$
Подставим значения температур в Кельвинах: $\eta = \frac{423 \text{ K} - 293 \text{ K}}{423 \text{ K}} = \frac{130}{423}$
Работа $\text{A}$, произведенная машиной, связана с КПД и количеством теплоты $Q_1$, полученным от нагревателя, следующим соотношением: $A = \eta \cdot Q_1$
Подставим числовые значения: $A = \frac{130}{423} \times 10^5 \text{ кДж} \approx 0.3073 \times 10^5 \text{ кДж} \approx 30730 \text{ кДж}$
Для удобства можно выразить в мегаджоулях: $A \approx 30.73 \text{ МДж}$

Ответ: работа, произведенная машиной, составляет примерно 30730 кДж (или 30.73 МДж).

5. Решение:
Рассмотрим изобарный процесс ($p=const$) для одноатомного идеального газа.
Согласно первому закону термодинамики, количество теплоты $\text{Q}$, сообщенное газу, расходуется на изменение его внутренней энергии $\Delta U$ и на совершение им работы $\text{A}$: $Q = \Delta U + A$
Для одноатомного газа (число степеней свободы $i=3$) изменение внутренней энергии равно: $\Delta U = \frac{3}{2} \nu R \Delta T$
где $\nu$ — количество вещества, $\text{R}$ — универсальная газовая постоянная, $\Delta T$ — изменение температуры.
Работа, совершаемая газом при изобарном процессе, выражается формулой: $A = p \Delta V = \nu R \Delta T$
Тогда количество теплоты, сообщенное газу, равно сумме изменения внутренней энергии и работы: $Q = \Delta U + A = \frac{3}{2} \nu R \Delta T + \nu R \Delta T = \frac{5}{2} \nu R \Delta T$
Теперь найдем, какая часть теплоты идет на увеличение внутренней энергии: $\frac{\Delta U}{Q} = \frac{\frac{3}{2} \nu R \Delta T}{\frac{5}{2} \nu R \Delta T} = \frac{3}{5}$
И какая часть теплоты идет на совершение работы: $\frac{A}{Q} = \frac{\nu R \Delta T}{\frac{5}{2} \nu R \Delta T} = \frac{1}{5/2} = \frac{2}{5}$

Ответ: на увеличение внутренней энергии идет 3/5 (или 60%) сообщенной теплоты, а на совершение работы — 2/5 (или 40%).

6. Дано:

$T_1 = 3T_2$
$Q_1 = 40 \text{ кДж}$

$Q_1 = 40 \times 10^3 \text{ Дж}$

Найти: $\text{A}$ - ?

Решение:

Двигатель является идеальным, следовательно, его КПД ($\eta$) определяется по формуле для цикла Карно, которая зависит только от абсолютных температур нагревателя ($T_1$) и холодильника ($T_2$): $\eta = \frac{T_1 - T_2}{T_1} = 1 - \frac{T_2}{T_1}$
По условию, $T_1 = 3T_2$. Подставим это соотношение в формулу для КПД: $\eta = 1 - \frac{T_2}{3T_2} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
Работа $\text{A}$, совершенная газом, равна произведению КПД на количество теплоты $Q_1$, полученное от нагревателя: $A = \eta \cdot Q_1$
Подставим известные значения: $A = \frac{2}{3} \times 40 \text{ кДж} = \frac{80}{3} \text{ кДж} \approx 26.7 \text{ кДж}$

Ответ: работа, совершенная газом, составляет примерно 26.7 кДж.