Вариант 3, страница 119 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

КР-8. Молекулярно-кинетическая теория идеального газа. Контрольные работы - страница 119.

Условие.

Вариант 3

I

1. Рассчитайте температуру, при которой находятся 2,5 моль газа, занимающего объем 1,66 л и находящегося под давлением 2,5 МПа.

2. Каково давление газа, если в каждом кубическом сантиметре его содержится $10^6$ молекул, а температура 87 °C?

II

3. Какова средняя квадратичная скорость молекул кислорода при температуре 20 °C?

4. Газ в сосуде находится под давлением $2 \cdot 10^5$ Па при температуре 127 °C. Определите давление газа после того, как половина массы газа выпущена из сосуда, а температура понижена на 50 °C.

III

5. Цилиндрический сосуд заполнен газом при температуре 27 °C и давлении 100 кПа и разделен пополам подвижной перегородкой. Каково будет давление, если газ в одной половине нагреть до температуры 57 °C, а во второй половине температуру газа оставить без изменения?

6. Сосуд, содержащий 2 г гелия, разорвался при температуре 400 °C. Какое максимальное количество азота может храниться в таком сосуде при 30 °C и при пятикратном запасе прочности?

Решение.

1. Рассчитайте температуру, при которой находятся 2,5 моль газа, занимающего объем 1,66 л и находящегося под давлением 2,5 МПа.

Дано:

$ν = 2,5$ моль

$V = 1,66$ л

$p = 2,5$ МПа

$R \approx 8,31$ Дж/(моль·К)

$V = 1,66 \cdot 10^{-3}$ м$^3$
$p = 2,5 \cdot 10^{6}$ Па

Найти:

$\text{T}$ - ?

Решение:

Для решения задачи воспользуемся уравнением состояния идеального газа (уравнением Менделеева-Клапейрона):

$pV = νRT$

Из этого уравнения выразим температуру $\text{T}$:

$T = \frac{pV}{νR}$

Подставим числовые значения в систему СИ и произведем расчет:

$T = \frac{2,5 \cdot 10^6 \text{ Па} \cdot 1,66 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3}{2,5 \text{ моль} \cdot 8,31 \text{ Дж/(моль·К)}} = \frac{1,66 \cdot 10^3}{8,31} \text{ К} \approx 199,76$ К

Округлим результат до целого значения.

Ответ: $T \approx 200$ К.

2. Каково давление газа, если в каждом кубическом сантиметре его содержится $10^6$ молекул, а температура ра 87 °C?

Дано:

Концентрация молекул $n_0 = 10^6$ см$^{-3}$

$t = 87$ °C

$k \approx 1,38 \cdot 10^{-23}$ Дж/К

$n = 10^6 \frac{1}{(10^{-2} \text{м})^3} = 10^6 \cdot 10^6 \text{ м}^{-3} = 10^{12}$ м$^{-3}$
$T = 87 + 273 = 360$ К

Найти:

$\text{p}$ - ?

Решение:

Давление идеального газа связано с концентрацией его молекул и абсолютной температурой через основное уравнение молекулярно-кинетической теории:

$p = nkT$

где $\text{n}$ - концентрация молекул, $\text{k}$ - постоянная Больцмана, $\text{T}$ - абсолютная температура.

Подставим числовые значения:

$p = 10^{12} \text{ м}^{-3} \cdot 1,38 \cdot 10^{-23} \text{ Дж/К} \cdot 360 \text{ К} = 496,8 \cdot 10^{-11} \text{ Па} \approx 4,97 \cdot 10^{-9}$ Па

Ответ: $p \approx 4,97 \cdot 10^{-9}$ Па.

3. Какова средняя квадратичная скорость молекул кислорода при температуре 20 °C?

Дано:

Газ - кислород (O$_2$)

$t = 20$ °C

$R \approx 8,31$ Дж/(моль·К)

$M_{O_2} = 32$ г/моль

$T = 20 + 273 = 293$ К
$M_{O_2} = 32 \cdot 10^{-3}$ кг/моль

Найти:

$v_{кв}$ - ?

Решение:

Средняя квадратичная скорость молекул газа вычисляется по формуле:

$v_{кв} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$

где $\text{R}$ - универсальная газовая постоянная, $\text{T}$ - абсолютная температура, $\text{M}$ - молярная масса газа.

Подставим значения для кислорода ($M = 32 \cdot 10^{-3}$ кг/моль):

$v_{кв} = \sqrt{\frac{3 \cdot 8,31 \text{ Дж/(моль·К)} \cdot 293 \text{ К}}{32 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}}} = \sqrt{\frac{7302,09}{0,032}} \text{ м/с} \approx \sqrt{228190} \text{ м/с} \approx 477,7$ м/с

Округлим результат.

Ответ: $v_{кв} \approx 478$ м/с.

4. Газ в сосуде находится под давлением $2 \cdot 10^5$ Па при температуре 127 °C. Определите давление газа после того, как половина массы газа выпущена из сосуда, а температура понижена на 50 °C.

Дано:

$p_1 = 2 \cdot 10^5$ Па

$t_1 = 127$ °C

$m_2 = \frac{1}{2} m_1$

$\Delta t = -50$ °C

$V_1 = V_2 = V$ (изохорный процесс)

$T_1 = 127 + 273 = 400$ К
$t_2 = t_1 + \Delta t = 127 - 50 = 77$ °C
$T_2 = 77 + 273 = 350$ К

Найти:

$p_2$ - ?

Решение:

Запишем уравнение состояния идеального газа (Менделеева-Клапейрона) для начального (1) и конечного (2) состояний газа:

$p_1 V = \frac{m_1}{M} R T_1$

$p_2 V = \frac{m_2}{M} R T_2$

Разделим второе уравнение на первое:

$\frac{p_2 V}{p_1 V} = \frac{\frac{m_2}{M} R T_2}{\frac{m_1}{M} R T_1}$

Сократив одинаковые величины ($V, M, R$), получим:

$\frac{p_2}{p_1} = \frac{m_2 T_2}{m_1 T_1}$

По условию $m_2 = \frac{1}{2} m_1$. Подставим это соотношение:

$\frac{p_2}{p_1} = \frac{\frac{1}{2} m_1 T_2}{m_1 T_1} = \frac{1}{2} \frac{T_2}{T_1}$

Выразим конечное давление $p_2$:

$p_2 = p_1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{T_2}{T_1}$

Подставим числовые значения:

$p_2 = 2 \cdot 10^5 \text{ Па} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{350 \text{ К}}{400 \text{ К}} = 10^5 \cdot \frac{35}{40} = 10^5 \cdot 0,875 = 8,75 \cdot 10^4$ Па

Ответ: $p_2 = 8,75 \cdot 10^4$ Па.

5. Цилиндрический сосуд заполнен газом при температуре 27 °C и давлении 100 кПа и разделен пополам подвижной перегородкой. Каково будет давление, если газ в одной половине нагреть до температуры 57 °C, а во второй половине температуру газа оставить без изменения?

Дано:

$t_0 = 27$ °C

$p_0 = 100$ кПа

$t_{1,f} = 57$ °C

$t_{2,f} = 27$ °C

$T_0 = T_{2,f} = 27 + 273 = 300$ К
$p_0 = 100 \cdot 10^3$ Па
$T_{1,f} = 57 + 273 = 330$ К

Найти:

$p_f$ - ?

Решение:

Так как перегородка подвижна, в конечном состоянии давление в обеих частях сосуда будет одинаковым: $p_{1,f} = p_{2,f} = p_f$. Количество газа $\text{ν}$ в каждой половине не меняется.

Запишем уравнение состояния для каждой половины в начальном и конечном состояниях. Вначале $V_{1,0} = V_{2,0} = V/2$.

Начальное состояние: $p_0 \frac{V}{2} = νRT_0$. Отсюда $νR = \frac{p_0 V}{2 T_0}$.

Конечное состояние для первой половины: $p_f V_{1,f} = νRT_{1,f}$.

Конечное состояние для второй половины: $p_f V_{2,f} = νRT_{2,f}$.

Суммарный объем постоянен: $V_{1,f} + V_{2,f} = V$.

Выразим объемы из уравнений для конечного состояния и подставим в условие сохранения объема:

$V = \frac{νRT_{1,f}}{p_f} + \frac{νRT_{2,f}}{p_f} = \frac{νR}{p_f}(T_{1,f} + T_{2,f})$

Теперь подставим выражение для $νR$ из начального состояния:

$V = \frac{1}{p_f} \left(\frac{p_0 V}{2 T_0}\right) (T_{1,f} + T_{2,f})$

Сократим $\text{V}$ и выразим искомое давление $p_f$:

$1 = \frac{p_0}{2 p_f T_0} (T_{1,f} + T_{2,f})$

$p_f = \frac{p_0 (T_{1,f} + T_{2,f})}{2 T_0}$

Подставим числовые значения ($T_0 = T_{2,f}$):

$p_f = \frac{100 \text{ кПа} \cdot (330 \text{ К} + 300 \text{ К})}{2 \cdot 300 \text{ К}} = \frac{100 \cdot 630}{600} = \frac{100 \cdot 2,1}{2} = 105$ кПа

Ответ: $p_f = 105$ кПа.

6. Сосуд, содержащий 2 г гелия, разорвался при температуре 400 °C. Какое максимальное количество азота может храниться в таком сосуде при 30 °C и при пятикратном запасе прочности?

Дано:

Гелий (He): $m_{He} = 2$ г, $t_{He} = 400$ °C, $M_{He} = 4$ г/моль

Азот (N$_2$): $t_{N_2} = 30$ °C, $M_{N_2} = 28$ г/моль

Запас прочности $k_s = 5$

$m_{He} = 2 \cdot 10^{-3}$ кг
$M_{He} = 4 \cdot 10^{-3}$ кг/моль
$T_{He} = 400 + 273 = 673$ К
$M_{N_2} = 28 \cdot 10^{-3}$ кг/моль
$T_{N_2} = 30 + 273 = 303$ К

Найти:

$m_{N_2}$ - ?

Решение:

Давление $p_{пред}$, при котором разорвался сосуд с гелием, определяется из уравнения Менделеева-Клапейрона:

$p_{пред} V = \frac{m_{He}}{M_{He}} R T_{He}$

Максимальное рабочее давление $p_{раб}$ для хранения азота с пятикратным запасом прочности равно $p_{раб} = p_{пред} / k_s$.

Для азота в условиях хранения справедливо уравнение:

$p_{раб} V = \frac{m_{N_2}}{M_{N_2}} R T_{N_2}$

Подставим выражение для $p_{раб}$ в это уравнение:

$\frac{p_{пред}}{k_s} V = \frac{m_{N_2}}{M_{N_2}} R T_{N_2}$

Теперь заменим $p_{пред}V$ из первого уравнения:

$\frac{1}{k_s} \left(\frac{m_{He}}{M_{He}} R T_{He}\right) = \frac{m_{N_2}}{M_{N_2}} R T_{N_2}$

Сократим $\text{R}$ и выразим массу азота $m_{N_2}$:

$m_{N_2} = \frac{m_{He} M_{N_2} T_{He}}{k_s M_{He} T_{N_2}}$

Подставим числовые значения (массу и молярную массу можно оставить в граммах и г/моль, так как их отношение будет безразмерным):

$m_{N_2} = \frac{2 \text{ г} \cdot 28 \text{ г/моль} \cdot 673 \text{ К}}{5 \cdot 4 \text{ г/моль} \cdot 303 \text{ К}} = \frac{37688}{6060} \text{ г} \approx 6,22$ г

Ответ: $m_{N_2} \approx 6,22$ г.