Вариант 1, страница 133 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

КР-12. Силы электромагнитного взаимодействия неподвижных зарядов. Контрольные работы - страница 133.

Условие.

КР-12. Силы электромагнитного взаимодействия неподвижных зарядов

Вариант 1

I

1. Два одинаковых металлических шарика, имеющих заряды $9 \cdot 10^{-8}$ Кл и $3 \cdot 10^{-8}$ Кл, приведены в соприкосновение и разведены на прежнее расстояние. Определите отношение сил взаимодействия шариков до и после соприкосновения.

2. Два заряда, один из которых по модулю в 4 раза больше другого, расположены на расстоянии 10 см друг от друга. В какой точке поля напряженность равна нулю, если заряды разноименные?

II

3. Металлический шарик, подвешенный на пружине, поместили в однородное вертикальное электрическое поле напряженностью $400$ Н/Кл. При этом растяжение пружины увеличилось на 10 см. Найдите заряд шарика, если жесткость пружины равна $200$ Н/м.

4. Между точечными зарядами $6,4 \cdot 10^{-6}$ Кл и $-6,4 \cdot 10^{-6}$ Кл расстояние равно 12 см. Найдите напряженность в точке, удаленной на 8 см от обоих зарядов.

III

5. Одинаковые металлические шарики, заряженные одноименно зарядами $\text{q}$ и $4q$, находятся на расстоянии $\text{r}$ друг от друга. Шарики привели в соприкосновение. На какое расстояние их надо развести, чтобы сила взаимодействия осталась прежней?

6. Четыре одинаковых точечных заряда по $4 \cdot 10^{-6}$ Кл помещены в вершины квадрата. Какой заряд нужно поместить в центр квадрата, чтобы система находилась в равновесии?

Решение.

1. Дано:

$q_1 = 9 \cdot 10^{-8}$ Кл
$q_2 = 3 \cdot 10^{-8}$ Кл
$r_1 = r_2 = r$

Найти:

$\frac{F_{до}}{F_{после}}$

Решение:

Сила взаимодействия шариков до соприкосновения определяется законом Кулона:

$F_{до} = k \frac{q_1 q_2}{r^2}$

После соприкосновения одинаковых металлических шариков их общий заряд $Q_{общ} = q_1 + q_2$ распределяется между ними поровну. Заряд каждого шарика становится равным $q'$:

$q' = \frac{q_1 + q_2}{2} = \frac{9 \cdot 10^{-8} \text{ Кл} + 3 \cdot 10^{-8} \text{ Кл}}{2} = \frac{12 \cdot 10^{-8} \text{ Кл}}{2} = 6 \cdot 10^{-8}$ Кл

Сила взаимодействия шариков после соприкосновения, когда их развели на прежнее расстояние $\text{r}$:

$F_{после} = k \frac{q' \cdot q'}{r^2} = k \frac{(q')^2}{r^2}$

Найдем отношение сил:

$\frac{F_{до}}{F_{после}} = \frac{k \frac{q_1 q_2}{r^2}}{k \frac{(q')^2}{r^2}} = \frac{q_1 q_2}{(q')^2} = \frac{(9 \cdot 10^{-8}) \cdot (3 \cdot 10^{-8})}{(6 \cdot 10^{-8})^2} = \frac{27 \cdot 10^{-16}}{36 \cdot 10^{-16}} = \frac{27}{36} = \frac{3}{4}$

Ответ: Отношение сил до и после соприкосновения равно $\frac{3}{4}$ или 0,75.

2. Дано:

$|q_1| = 4|q_2|$
$r = 10$ см
Заряды разноименные.

В СИ:
$r = 0.1$ м

Найти:

Координату точки, где $E=0$.

Решение:

Напряженность электрического поля равна нулю в точке, где векторные суммы напряженностей от каждого заряда равны нулю. Так как заряды разноименные, такая точка не может находиться между ними (векторы напряженности будут сонаправлены). Точка равновесия будет лежать на прямой, соединяющей заряды, за пределами отрезка между ними, и ближе к заряду с меньшим модулем.

Пусть $|q_2| = q$, тогда $|q_1| = 4q$. Точка, где напряженность равна нулю, будет находиться ближе к заряду $q_2$.

Обозначим расстояние от заряда $q_2$ до искомой точки через $\text{x}$. Тогда расстояние от заряда $q_1$ до этой точки будет $r+x$.

В этой точке модули напряженностей полей, создаваемых зарядами, равны:

$E_1 = E_2$

$k \frac{|q_1|}{(r+x)^2} = k \frac{|q_2|}{x^2}$

Подставим известные соотношения зарядов:

$\frac{4q}{(r+x)^2} = \frac{q}{x^2}$

$\frac{4}{(r+x)^2} = \frac{1}{x^2}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$\frac{2}{r+x} = \frac{1}{x}$

$2x = r+x$

$x = r = 10$ см

Таким образом, точка находится на расстоянии 10 см от меньшего по модулю заряда.

Ответ: В точке, расположенной на прямой, соединяющей заряды, на расстоянии 10 см от меньшего по модулю заряда и 20 см от большего по модулю заряда.

3. Дано:

$E = 400$ Н/Кл
$\Delta x = 10$ см
$k_{пружины} = 200$ Н/м

В СИ:
$\Delta x = 0.1$ м

Найти:

$\text{q}$

Решение:

Когда шарик помещают в электрическое поле, на него начинает действовать электрическая сила $F_э = qE$. Поскольку растяжение пружины увеличилось, эта сила направлена вертикально вниз.

Дополнительное растяжение пружины $\Delta x$ вызвано именно этой электрической силой. Согласно закону Гука, сила упругости, которая возникла из-за дополнительного растяжения, равна $F_{упр. доп} = k \Delta x$.

В положении равновесия эта дополнительная сила упругости уравновешивает электрическую силу:

$F_э = F_{упр. доп}$

$|q|E = k \Delta x$

Отсюда можем найти модуль заряда шарика:

$|q| = \frac{k \Delta x}{E} = \frac{200 \text{ Н/м} \cdot 0.1 \text{ м}}{400 \text{ Н/Кл}} = \frac{20}{400} \text{ Кл} = 0.05$ Кл

Ответ: 0,05 Кл.

4. Дано:

$q_1 = 6.4 \cdot 10^{-6}$ Кл
$q_2 = -6.4 \cdot 10^{-6}$ Кл
$d = 12$ см
$r = 8$ см (расстояние от точки до каждого заряда)

В СИ:
$d = 0.12$ м
$r = 0.08$ м

Найти:

$E_{рез}$

Решение:

Заряды и точка наблюдения образуют равнобедренный треугольник с основанием $\text{d}$ и боковыми сторонами $\text{r}$. Результирующая напряженность $\vec{E}_{рез}$ находится по принципу суперпозиции: $\vec{E}_{рез} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2$.

Модули напряженностей от каждого заряда одинаковы, так как модули зарядов и расстояния до точки равны:

$E_1 = E_2 = E = k \frac{|q_1|}{r^2} = 9 \cdot 10^9 \frac{6.4 \cdot 10^{-6}}{(0.08)^2} = 9 \cdot 10^9 \frac{6.4 \cdot 10^{-6}}{0.0064} = 9 \cdot 10^6$ Н/Кл

Вектор $\vec{E}_1$ направлен от заряда $q_1$, а вектор $\vec{E}_2$ — к заряду $q_2$. Спроецируем векторы на ось X, проходящую через заряды, и ось Y, перпендикулярную ей. Проекции на ось Y взаимно уничтожаются, а проекции на ось X складываются.

$E_{рез} = E_{1x} + E_{2x}$

Найдем косинус угла $\beta$ между боковой стороной треугольника и его основанием. Из прямоугольного треугольника, образованного высотой, половиной основания и боковой стороной: $\cos(\beta) = \frac{d/2}{r}$.

Проекция каждого вектора на ось X равна $E_x = E \cos(\beta)$. Тогда результирующая напряженность:

$E_{рез} = 2 E \cos(\beta) = 2 E \frac{d/2}{r} = E \frac{d}{r}$

Подставим числовые значения:

$E_{рез} = (9 \cdot 10^6 \text{ Н/Кл}) \cdot \frac{0.12 \text{ м}}{0.08 \text{ м}} = 9 \cdot 10^6 \cdot 1.5 = 13.5 \cdot 10^6$ Н/Кл = $1.35 \cdot 10^7$ Н/Кл

Ответ: $1,35 \cdot 10^7$ Н/Кл.

5. Дано:

$q_1 = q$
$q_2 = 4q$
$r_1 = r$
$F_{до} = F_{после}$

Найти:

$r_2$

Решение:

Сила взаимодействия до соприкосновения:

$F_{до} = k \frac{q_1 q_2}{r_1^2} = k \frac{q \cdot 4q}{r^2} = 4k \frac{q^2}{r^2}$

После соприкосновения одинаковых шариков их общий заряд $Q_{общ} = q+4q = 5q$ делится поровну. Заряд каждого шарика становится $q' = \frac{5q}{2} = 2.5q$.

Пусть новое расстояние между шариками $r_2$. Сила взаимодействия после соприкосновения:

$F_{после} = k \frac{(q')^2}{r_2^2} = k \frac{(2.5q)^2}{r_2^2} = k \frac{6.25 q^2}{r_2^2}$

По условию, силы равны $F_{до} = F_{после}$:

$4k \frac{q^2}{r^2} = 6.25k \frac{q^2}{r_2^2}$

$\frac{4}{r^2} = \frac{6.25}{r_2^2}$

$4r_2^2 = 6.25r^2$

$r_2^2 = \frac{6.25}{4} r^2 = 1.5625 r^2$

$r_2 = \sqrt{1.5625} r = 1.25r$

Ответ: Шарики надо развести на расстояние 1,25r.

6. Дано:

$q_1=q_2=q_3=q_4=q = 4 \cdot 10^{-6}$ Кл

Найти:

$\text{Q}$ (заряд в центре)

Решение:

Для равновесия системы необходимо, чтобы результирующая сила, действующая на каждый из зарядов, была равна нулю. Рассмотрим силы, действующие на один из зарядов в вершине, например, на заряд $q_1$. Пусть сторона квадрата равна $\text{a}$.

На заряд $q_1$ действуют силы отталкивания от трех других зарядов в вершинах ($q_2, q_3, q_4$) и сила со стороны центрального заряда $\text{Q}$.

1. Силы от соседних зарядов $q_2$ и $q_4$: $F_{12} = F_{14} = k \frac{q^2}{a^2}$. Векторная сумма этих сил $\vec{F}_{124}$ направлена по диагонали от центра и по модулю равна $F_{124} = \sqrt{F_{12}^2 + F_{14}^2} = \sqrt{2} k \frac{q^2}{a^2}$.

2. Сила от диагонально противоположного заряда $q_3$: расстояние равно $a\sqrt{2}$, сила $F_{13} = k \frac{q^2}{(a\sqrt{2})^2} = k \frac{q^2}{2a^2}$. Эта сила также направлена по диагонали от центра.

3. Суммарная сила отталкивания от зарядов в вершинах, действующая на $q_1$ по диагонали: $F_{отт} = F_{124} + F_{13} = \sqrt{2} k \frac{q^2}{a^2} + k \frac{q^2}{2a^2} = k \frac{q^2}{a^2} (\sqrt{2} + \frac{1}{2})$.

4. Чтобы заряд $q_1$ был в равновесии, сила со стороны центрального заряда $\text{Q}$, $\vec{F}_{1Q}$, должна уравновесить силу $F_{отт}$. Следовательно, $\vec{F}_{1Q}$ должна быть силой притяжения (направлена к центру), а значит, заряд $\text{Q}$ должен быть отрицательным.

Расстояние от центра до вершины равно половине диагонали: $r = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

$F_{1Q} = k \frac{|qQ|}{r^2} = k \frac{|qQ|}{(a\sqrt{2}/2)^2} = k \frac{|qQ|}{a^2/2} = 2k \frac{|qQ|}{a^2}$.

Приравниваем модули сил:

$F_{1Q} = F_{отт}$

$2k \frac{|qQ|}{a^2} = k \frac{q^2}{a^2} (\sqrt{2} + \frac{1}{2})$

$2|Q| = q(\sqrt{2} + \frac{1}{2})$

$|Q| = q(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{4}) = q(\frac{2\sqrt{2}+1}{4})$

Подставим значение $\text{q}$:

$|Q| = (4 \cdot 10^{-6}) \cdot (\frac{2\sqrt{2}+1}{4}) = (2\sqrt{2}+1) \cdot 10^{-6} \approx (2 \cdot 1.414 + 1) \cdot 10^{-6} = 3.828 \cdot 10^{-6}$ Кл.

Так как заряд $\text{Q}$ должен быть отрицательным, $Q \approx -3.83 \cdot 10^{-6}$ Кл.

Ответ: Нужно поместить отрицательный заряд $Q = -(\frac{2\sqrt{2}+1}{4})q \approx -3,83 \cdot 10^{-6}$ Кл.