Вариант 3, страница 135 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

КР-12. Силы электромагнитного взаимодействия неподвижных зарядов. Контрольные работы - страница 135.

Условие.

Вариант 3

I

1. В двух противоположных вершинах квадрата со стороной 30 см находятся отрицательные заряды по $-5 \cdot 10^{-9}$ Кл каждый. Найдите напряженность поля в двух других вершинах квадрата.

2. Два одинаковых металлических шарика, имеющих заряды $-6 \cdot 10^{-8}$ Кл и $15 \cdot 10^{-8}$ Кл, привели в соприкосновение, а затем раздвинули на расстояние 10 см. Определите силу взаимодействия между шариками.

II

3. В вертикально направленном однородном электрическом поле капелька массой $2 \cdot 10^{-8}$ кг, имеющая заряд $10^{-9}$ Кл, оказалась в равновесии. Определите напряженность электрического поля.

4. На какой угол отклонится от вертикали маленький шарик с зарядом $4 \cdot 10^{-7}$ Кл массой 4 мг, подвешенный на шелковой нити, если его поместить в горизонтальное однородное электрическое поле с напряженностью $100$ Н/Кл?

III

5. Три одинаковых положительных точечных заряда $1,73 \cdot 10^{-6}$ Кл каждый расположены в вершинах равностороннего треугольника. Какой заряд нужно поместить в центр треугольника, чтобы вся система находилась в равновесии?

6. Два одинаковых шарика подвешены на нитях так, что их поверхности соприкасаются. Когда каждому шарику сообщили заряд $4 \cdot 10^{-7}$ Кл, они разошлись на угол $60^\circ$. Найдите массу шариков, если расстояние от точки подвеса до центра каждого шарика равно 20 см.

Решение.

1. Дано:

Заряды в противоположных вершинах: $q_1 = q_3 = q = -5 \cdot 10^{-9}$ Кл
Сторона квадрата: $a = 30$ см

Перевод в СИ:
$a = 0.3$ м

Найти:

Напряженность поля в двух других вершинах: $\text{E}$

Решение:

Пусть заряды $\text{q}$ находятся в вершинах A и C квадрата ABCD. Найдем напряженность в вершине B. Напряженность в вершине D будет такой же по модулю из-за симметрии задачи.
Согласно принципу суперпозиции полей, напряженность в точке B равна векторной сумме напряженностей, создаваемых зарядами в точках A и C: $ \vec{E}_B = \vec{E}_A + \vec{E}_C $.
Модули напряженностей полей, создаваемых каждым зарядом, равны, так как заряды одинаковы и расстояния от них до точки B равны стороне квадрата $\text{a}$:
$E_A = k \frac{|q|}{a^2}$
$E_C = k \frac{|q|}{a^2}$
Поскольку заряды $\text{q}$ отрицательны, векторы напряженности $\vec{E}_A$ и $\vec{E}_C$ направлены к зарядам, то есть $\vec{E}_A$ направлен от B к A, а $\vec{E}_C$ - от B к C.
Так как стороны квадрата перпендикулярны, угол между векторами $\vec{E}_A$ и $\vec{E}_C$ равен $90^\circ$.
Модуль результирующей напряженности найдем по теореме Пифагора:
$E_B = \sqrt{E_A^2 + E_C^2} = \sqrt{2E_A^2} = E_A\sqrt{2}$
Подставим выражение для $E_A$:
$E_B = k \frac{|q|}{a^2} \sqrt{2}$
Где $k \approx 9 \cdot 10^9 \frac{Н \cdot м^2}{Кл^2}$ – постоянная в законе Кулона.
Вычислим значение:
$E_B = 9 \cdot 10^9 \frac{Н \cdot м^2}{Кл^2} \cdot \frac{|-5 \cdot 10^{-9} Кл|}{(0.3 м)^2} \cdot \sqrt{2} = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{5 \cdot 10^{-9}}{0.09} \sqrt{2} \frac{Н}{Кл} = \frac{45}{0.09} \sqrt{2} \frac{Н}{Кл} = 500\sqrt{2} \frac{Н}{Кл}$
$E_B \approx 500 \cdot 1.414 \approx 707$ Н/Кл.
Напряженность в четвертой вершине D будет такой же по модулю: $E_D = E_B \approx 707$ Н/Кл.

Ответ: Напряженность поля в двух других вершинах квадрата одинакова и равна приблизительно 707 Н/Кл.

2. Дано:

Начальные заряды шариков: $q_1 = -6 \cdot 10^{-8}$ Кл, $q_2 = 15 \cdot 10^{-8}$ Кл
Расстояние после разведения: $r = 10$ см

Перевод в СИ:
$r = 0.1$ м

Найти:

Сила взаимодействия: $\text{F}$

Решение:

При соприкосновении одинаковых металлических шариков их суммарный заряд перераспределяется между ними поровну. Согласно закону сохранения заряда, суммарный заряд до и после соприкосновения одинаков:
$Q = q_1 + q_2 = -6 \cdot 10^{-8} Кл + 15 \cdot 10^{-8} Кл = 9 \cdot 10^{-8}$ Кл.
После соприкосновения заряд каждого шарика станет равен:
$q' = \frac{Q}{2} = \frac{9 \cdot 10^{-8} Кл}{2} = 4.5 \cdot 10^{-8}$ Кл.
После того как шарики раздвинули на расстояние $\text{r}$, сила их взаимодействия определяется по закону Кулона:
$F = k \frac{|q' \cdot q'|}{r^2} = k \frac{(q')^2}{r^2}$
Подставим числовые значения:
$F = 9 \cdot 10^9 \frac{Н \cdot м^2}{Кл^2} \cdot \frac{(4.5 \cdot 10^{-8} Кл)^2}{(0.1 м)^2} = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{20.25 \cdot 10^{-16}}{0.01} Н = \frac{182.25 \cdot 10^{-7}}{10^{-2}} Н = 182.25 \cdot 10^{-5} Н = 1.8225 \cdot 10^{-3}$ Н.
Так как заряды после соприкосновения одноименные (оба положительные), шарики будут отталкиваться.

Ответ: Сила взаимодействия между шариками равна $1.8225 \cdot 10^{-3}$ Н.

3. Дано:

Масса капельки: $m = 2 \cdot 10^{-8}$ кг
Заряд капельки: $q = 10^{-9}$ Кл
Ускорение свободного падения: $g \approx 10$ Н/кг

Найти:

Напряженность электрического поля: $\text{E}$

Решение:

Капелька находится в равновесии, это означает, что сумма всех действующих на нее сил равна нулю. На капельку действуют две силы: сила тяжести $F_g = mg$, направленная вертикально вниз, и сила со стороны электрического поля $F_e = qE$, направленная вертикально.
Для равновесия необходимо, чтобы электрическая сила уравновешивала силу тяжести, то есть была равна ей по модулю и противоположна по направлению.
$F_e = F_g$
$qE = mg$
Так как заряд капельки положителен ($q > 0$), а сила тяжести направлена вниз, электрическая сила должна быть направлена вверх. Следовательно, вектор напряженности электрического поля $\vec{E}$ также направлен вертикально вверх.
Выразим напряженность поля $\text{E}$:
$E = \frac{mg}{q}$
Подставим значения:
$E = \frac{2 \cdot 10^{-8} кг \cdot 10 Н/кг}{10^{-9} Кл} = \frac{20 \cdot 10^{-8} Н}{10^{-9} Кл} = 20 \cdot 10^1 \frac{Н}{Кл} = 200$ Н/Кл.

Ответ: Напряженность электрического поля равна 200 Н/Кл.

4. Дано:

Заряд шарика: $q = 4 \cdot 10^{-7}$ Кл
Масса шарика: $m = 4$ мг
Напряженность поля: $E = 100$ Н/Кл
Ускорение свободного падения: $g \approx 10$ Н/кг

Перевод в СИ:
$m = 4 \cdot 10^{-3} г = 4 \cdot 10^{-6}$ кг

Найти:

Угол отклонения от вертикали: $\alpha$

Решение:

На шарик в положении равновесия действуют три силы: сила тяжести $\vec{F}_g$, направленная вертикально вниз; электрическая сила $\vec{F}_e$, направленная горизонтально (так как поле горизонтальное); сила натяжения нити $\vec{T}$, направленная вдоль нити.
Условие равновесия: $ \vec{F}_g + \vec{F}_e + \vec{T} = 0 $.
В проекциях на горизонтальную и вертикальную оси это условие выглядит так:
Ось X (горизонтальная): $F_e - T_x = 0 \Rightarrow F_e = T \sin(\alpha)$
Ось Y (вертикальная): $T_y - F_g = 0 \Rightarrow F_g = T \cos(\alpha)$
где $\alpha$ - угол отклонения нити от вертикали.
Разделим первое уравнение на второе:
$\frac{T \sin(\alpha)}{T \cos(\alpha)} = \frac{F_e}{F_g}$
$\tan(\alpha) = \frac{F_e}{F_g}$
Сила со стороны электрического поля $F_e = qE$, сила тяжести $F_g = mg$.
$\tan(\alpha) = \frac{qE}{mg}$
Подставим числовые значения:
$\tan(\alpha) = \frac{4 \cdot 10^{-7} Кл \cdot 100 Н/Кл}{4 \cdot 10^{-6} кг \cdot 10 Н/кг} = \frac{4 \cdot 10^{-5} Н}{4 \cdot 10^{-5} Н} = 1$
Угол, тангенс которого равен 1, это $45^\circ$.
$\alpha = \arctan(1) = 45^\circ$.

Ответ: Угол отклонения шарика от вертикали равен $45^\circ$.

5. Дано:

Заряд в каждой вершине: $q_v = 1.73 \cdot 10^{-6}$ Кл

Найти:

Заряд в центре треугольника: $q_c$

Решение:

Для равновесия всей системы необходимо, чтобы результирующая сила, действующая на каждый из зарядов, была равна нулю. Рассмотрим силы, действующие на один из зарядов в вершине, например, в вершине A. На него действуют силы отталкивания от двух других зарядов в вершинах B и C ($ \vec{F}_{AB} $ и $ \vec{F}_{AC} $) и сила со стороны центрального заряда $q_c$ ($ \vec{F}_{Ac} $).
Пусть сторона треугольника равна $\text{a}$. Модули сил $F_{AB}$ и $F_{AC}$ равны: $F_{AB} = F_{AC} = k \frac{q_v^2}{a^2}$. Угол между этими силами равен $60^\circ$.
Найдем модуль их результирующей $F_{BC}$ по теореме косинусов:
$F_{BC} = \sqrt{F_{AB}^2 + F_{AC}^2 + 2F_{AB}F_{AC}\cos(60^\circ)} = \sqrt{F_{AB}^2 + F_{AB}^2 + 2F_{AB}^2 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{3F_{AB}^2} = F_{AB}\sqrt{3}$
$F_{BC} = k \frac{q_v^2 \sqrt{3}}{a^2}$
Вектор $ \vec{F}_{BC} $ направлен вдоль высоты (медианы) треугольника от вершины A.
Чтобы заряд в вершине A был в равновесии, сила со стороны центрального заряда $ \vec{F}_{Ac} $ должна уравновешивать силу $ \vec{F}_{BC} $. Это значит, что $ \vec{F}_{Ac} = -\vec{F}_{BC} $. Следовательно, сила $F_{Ac}$ должна быть силой притяжения, а значит, заряд $q_c$ должен быть отрицательным.
Расстояние $\text{r}$ от центра равностороннего треугольника до его вершины равно $r = \frac{a}{\sqrt{3}}$.
Модуль силы $F_{Ac}$ равен: $F_{Ac} = k \frac{|q_c|q_v}{r^2} = k \frac{|q_c|q_v}{(a/\sqrt{3})^2} = 3k \frac{|q_c|q_v}{a^2}$.
Приравниваем модули сил $F_{BC}$ и $F_{Ac}$:
$k \frac{q_v^2 \sqrt{3}}{a^2} = 3k \frac{|q_c|q_v}{a^2}$
$q_v \sqrt{3} = 3|q_c|$
$|q_c| = \frac{q_v \sqrt{3}}{3} = \frac{q_v}{\sqrt{3}}$
Подставим значение $q_v$ и учтем, что $\sqrt{3} \approx 1.73$:
$|q_c| = \frac{1.73 \cdot 10^{-6} Кл}{\sqrt{3}} \approx \frac{1.73 \cdot 10^{-6} Кл}{1.73} = 1 \cdot 10^{-6}$ Кл.
Так как заряд $q_c$ должен быть отрицательным, $q_c = -1 \cdot 10^{-6}$ Кл.
При таком значении $q_c$ заряды в вершинах будут в равновесии. Заряд в центре также будет в равновесии из-за симметричного расположения остальных зарядов.

Ответ: В центр треугольника нужно поместить заряд $q_c = -1 \cdot 10^{-6}$ Кл (или -1 мкКл).

6. Дано:

Заряд каждого шарика: $q = 4 \cdot 10^{-7}$ Кл
Угол расхождения нитей: $2\alpha = 60^\circ$
Длина нити (расстояние от точки подвеса до центра шарика): $L = 20$ см
Ускорение свободного падения: $g \approx 10$ Н/кг

Перевод в СИ:
$L = 0.2$ м

Найти:

Масса шариков: $\text{m}$

Решение:

Рассмотрим один из шариков в положении равновесия. На него действуют три силы: сила тяжести $\vec{F}_g = m\vec{g}$, сила натяжения нити $\vec{T}$ и сила кулоновского отталкивания $\vec{F}_e$ со стороны другого шарика.
Угол, который каждая нить образует с вертикалью, равен $\alpha = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.
Из условия равновесия (аналогично задаче 4) следует соотношение: $\tan(\alpha) = \frac{F_e}{F_g}$
Сила тяжести $F_g = mg$. Сила Кулона $F_e = k \frac{q^2}{r^2}$, где $\text{r}$ - расстояние между центрами шариков.
Из геометрии системы находим расстояние $\text{r}$: $r = 2L \sin(\alpha)$.
Подставим выражение для $\text{r}$ в формулу для $F_e$:
$F_e = k \frac{q^2}{(2L\sin(\alpha))^2} = \frac{kq^2}{4L^2\sin^2(\alpha)}$
Теперь подставим выражения для сил в условие равновесия:
$\tan(\alpha) = \frac{kq^2 / (4L^2\sin^2(\alpha))}{mg} = \frac{kq^2}{4mgL^2\sin^2(\alpha)}$
Выразим массу $\text{m}$:
$m = \frac{kq^2}{4gL^2\sin^2(\alpha)\tan(\alpha)}$
Подставим числовые значения. $\alpha=30^\circ$, $\sin(30^\circ)=0.5$, $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
$m = \frac{9 \cdot 10^9 \cdot (4 \cdot 10^{-7})^2}{4 \cdot 10 \cdot (0.2)^2 \cdot (0.5)^2 \cdot (1/\sqrt{3})} = \frac{9 \cdot 10^9 \cdot 16 \cdot 10^{-14}}{40 \cdot 0.04 \cdot 0.25 \cdot (1/\sqrt{3})} = \frac{144 \cdot 10^{-5}}{1.6 \cdot 0.25 \cdot (1/\sqrt{3})} = \frac{1.44 \cdot 10^{-3}}{0.4 / \sqrt{3}}$
$m = \frac{1.44 \cdot 10^{-3} \cdot \sqrt{3}}{0.4} = 3.6 \sqrt{3} \cdot 10^{-3} $ кг.
$m \approx 3.6 \cdot 1.732 \cdot 10^{-3} \approx 6.235 \cdot 10^{-3}$ кг.
Это примерно 6.24 г.

Ответ: Масса каждого шарика приблизительно равна $6.24 \cdot 10^{-3}$ кг или 6.24 г.