Вариант 2, страница 138 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

КР-13. Энергия электромагнитного взаимодействия неподвижных зарядов. Контрольные работы - страница 138.

Условие.

Вариант 3

I

1. При сообщении конденсатору заряда, равного $5 \cdot 10^{-6}$ Кл, его энергия оказалась равной 0,01 Дж. Определите напряжение на обкладках конденсатора.

2. Определите заряд сферы, если потенциал в точке, расположенной на расстоянии 50 см от поверхности сферы, равен 4 В. Радиус сферы 5 см.

II

3. Из ядра атома радия со скоростью $2 \cdot 10^7$ м/с вылетает $\alpha$-частица массой $6,67 \cdot 10^{-27}$ кг. Определите энергию частицы и разность потенциалов, которая бы обеспечила частице такую энергию. Заряд $\alpha$-частицы равен $3,2 \cdot 10^{-19}$ Кл.

4. Энергия плоского воздушного конденсатора, отключенного от источника тока, равна 20 Дж. Какую работу нужно совершить, чтобы увеличить расстояние между пластинами конденсатора в 4 раза?

III

5. Маленький шарик подвешен на диэлектрической пружине в пространстве плоского конденсатора, пластины которого — круги радиусом 10 см — расположены горизонтально. Заряд шарика равен $-3$ нКл. Когда пластинам конденсатора сообщили заряд $2 \times 10^{-8}$ Кл, растяжение пружины увеличилось вдвое. Определите массу шарика. Массой пружины пренебречь.

6. Электрон, начав движение из состояния покоя и пролетев в поле плоского конденсатора расстояние между пластинами, равное 2 см, достиг скорости $10^7$ м/с. Заряд на пластинах конденсатора равен $5 \cdot 10^{-9}$ Кл. Найдите площадь пластин конденсатора. Отношение заряда электрона к его массе равно $1,76 \cdot 10^{11}$ Кл/кг.

Решение.

1. Дано:

Заряд $q = 5 \cdot 10^{-6}$ Кл

Энергия $W = 0,01$ Дж

Найти:

Напряжение $\text{U}$

Решение:

Энергия заряженного конденсатора связана с зарядом на его обкладках и напряжением между ними по формуле: $W = \frac{qU}{2}$.

Выразим из этой формулы искомое напряжение $\text{U}$:

$U = \frac{2W}{q}$

Подставим известные значения в формулу:

$U = \frac{2 \cdot 0,01 \text{ Дж}}{5 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}} = \frac{0,02}{5 \cdot 10^{-6}} \text{ В} = 0,4 \cdot 10^4 \text{ В} = 4000 \text{ В}$.

Ответ: 4000 В.

2. Дано:

Расстояние от поверхности сферы $h = 50$ см

Радиус сферы $R = 5$ см

Потенциал $\phi = 4$ В

Коэффициент пропорциональности $k \approx 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$

В СИ:

$h = 0,5$ м

$R = 0,05$ м

Найти:

Заряд сферы $\text{q}$

Решение:

Потенциал электрического поля, создаваемого заряженной сферой в точке, находящейся вне сферы, определяется по формуле: $\phi = k \frac{q}{r}$, где $\text{q}$ — заряд сферы, а $\text{r}$ — расстояние от центра сферы до данной точки.

Расстояние $\text{r}$ от центра сферы до точки равно сумме радиуса сферы $\text{R}$ и расстояния от поверхности $\text{h}$:

$r = R + h = 0,05 \text{ м} + 0,5 \text{ м} = 0,55 \text{ м}$.

Выразим заряд $\text{q}$ из формулы для потенциала:

$q = \frac{\phi \cdot r}{k}$

Подставим числовые значения:

$q = \frac{4 \text{ В} \cdot 0,55 \text{ м}}{9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}} = \frac{2,2}{9 \cdot 10^9} \text{ Кл} \approx 0,244 \cdot 10^{-9} \text{ Кл} = 2,44 \cdot 10^{-10} \text{ Кл}$.

Ответ: $2,44 \cdot 10^{-10}$ Кл.

3. Дано:

Скорость α-частицы $v = 2 \cdot 10^7$ м/с

Масса α-частицы $m = 6,67 \cdot 10^{-27}$ кг

Заряд α-частицы $q = 3,2 \cdot 10^{-19}$ Кл

Найти:

Энергию частицы $E_k$

Разность потенциалов $\text{U}$

Решение:

1. Определим кинетическую энергию α-частицы по формуле: $E_k = \frac{mv^2}{2}$.

$E_k = \frac{(6,67 \cdot 10^{-27} \text{ кг}) \cdot (2 \cdot 10^7 \text{ м/с})^2}{2} = \frac{6,67 \cdot 10^{-27} \cdot 4 \cdot 10^{14}}{2} \text{ Дж} = 13,34 \cdot 10^{-13} \text{ Дж} \approx 1,33 \cdot 10^{-12} \text{ Дж}$.

2. Работа электрического поля по разгону заряженной частицы из состояния покоя равна ее конечной кинетической энергии: $A = E_k$. Работа также выражается через разность потенциалов и заряд: $A = qU$. Приравнивая эти выражения, получаем: $qU = E_k$.

Выразим разность потенциалов $\text{U}$:

$U = \frac{E_k}{q}$

Подставим значения:

$U = \frac{1,334 \cdot 10^{-12} \text{ Дж}}{3,2 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}} \approx 0,417 \cdot 10^7 \text{ В} = 4,17 \cdot 10^6 \text{ В}$.

Ответ: энергия частицы $\approx 1,33 \cdot 10^{-12}$ Дж, разность потенциалов $\approx 4,17 \cdot 10^6$ В.

4. Дано:

Начальная энергия конденсатора $W_1 = 20$ Дж

Конечное расстояние между пластинами $d_2 = 4d_1$

Найти:

Работу $\text{A}$

Решение:

Поскольку конденсатор отключен от источника тока, заряд $\text{q}$ на его пластинах остается постоянным. Энергию конденсатора при постоянном заряде удобно выражать формулой $W = \frac{q^2}{2C}$.

Емкость плоского конденсатора обратно пропорциональна расстоянию между пластинами: $C = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{d}$.

При увеличении расстояния в 4 раза ($d_2 = 4d_1$), емкость уменьшится в 4 раза: $C_2 = \frac{C_1}{4}$.

Найдем отношение конечной энергии к начальной:

$\frac{W_2}{W_1} = \frac{q^2/2C_2}{q^2/2C_1} = \frac{C_1}{C_2} = \frac{C_1}{C_1/4} = 4$.

Следовательно, конечная энергия $W_2 = 4W_1 = 4 \cdot 20 \text{ Дж} = 80 \text{ Дж}$.

Работа, которую необходимо совершить, равна изменению энергии конденсатора:

$A = W_2 - W_1 = 80 \text{ Дж} - 20 \text{ Дж} = 60 \text{ Дж}$.

Ответ: 60 Дж.

5. Дано:

Радиус пластин $R = 10$ см

Заряд шарика $q = -3$ нКл

Заряд на пластинах конденсатора $|Q| = 2 \cdot 10^{-8}$ Кл

Конечное растяжение пружины $x_2 = 2x_1$

$g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$

$\varepsilon_0 \approx 8,85 \cdot 10^{-12}$ Ф/м

В СИ:

$R = 0,1$ м

$q = -3 \cdot 10^{-9}$ Кл

Найти:

Массу шарика $\text{m}$

Решение:

1. В начальном состоянии (конденсатор не заряжен) на шарик действуют сила тяжести $F_g = mg$ (вниз) и сила упругости $F_{упр1} = kx_1$ (вверх). В равновесии: $kx_1 = mg$ (1).

2. После зарядки конденсатора растяжение пружины увеличилось, значит, электрическая сила $F_e$ направлена вниз, как и сила тяжести. Новое условие равновесия: $F_{упр2} = F_g + F_e$.

Так как $x_2 = 2x_1$, то $F_{упр2} = kx_2 = k(2x_1) = 2(kx_1)$. Подставляя $kx_1 = mg$ из (1), получаем $F_{упр2} = 2mg$.

Тогда условие равновесия принимает вид: $2mg = mg + F_e$, откуда следует, что $mg = F_e$.

3. Электрическая сила $F_e = |q|E$. Напряженность поля $E = \frac{|Q|}{\varepsilon_0 S}$, где $S = \pi R^2$ - площадь пластин.

$S = \pi (0,1 \text{ м})^2 = 0,01\pi \text{ м}^2$.

$F_e = |q|\frac{|Q|}{\varepsilon_0 S} = (3 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}) \cdot \frac{2 \cdot 10^{-8} \text{ Кл}}{(8,85 \cdot 10^{-12} \text{ Ф/м}) \cdot 0,01\pi \text{ м}^2} \approx 2,16 \cdot 10^{-4} \text{ Н}$.

4. Из равенства $mg = F_e$ находим массу:

$m = \frac{F_e}{g} = \frac{2,16 \cdot 10^{-4} \text{ Н}}{9,8 \text{ м/с}^2} \approx 2,2 \cdot 10^{-5} \text{ кг}$.

Ответ: $2,2 \cdot 10^{-5}$ кг.

6. Дано:

Расстояние $d = 2$ см

Конечная скорость $v = 10^7$ м/с

Заряд на пластинах $|Q| = 5 \cdot 10^{-9}$ Кл

Удельный заряд электрона $\frac{e}{m_e} = 1,76 \cdot 10^{11}$ Кл/кг

Начальная скорость $v_0 = 0$

$\varepsilon_0 \approx 8,85 \cdot 10^{-12}$ Ф/м

В СИ:

$d = 0,02$ м

Найти:

Площадь пластин $\text{S}$

Решение:

Работа электрического поля по перемещению электрона идет на увеличение его кинетической энергии. Так как начальная скорость равна нулю, $A = E_k$.

Работа поля $A = eU$, где $\text{U}$ — разность потенциалов. Кинетическая энергия $E_k = \frac{m_e v^2}{2}$.

Приравнивая, получаем $eU = \frac{m_e v^2}{2}$.

Разность потенциалов в плоском конденсаторе $U = Ed$, а напряженность поля $E = \frac{|Q|}{\varepsilon_0 S}$. Следовательно, $U = \frac{|Q|d}{\varepsilon_0 S}$.

Подставим выражение для $\text{U}$ в уравнение энергий:

$e \frac{|Q|d}{\varepsilon_0 S} = \frac{m_e v^2}{2}$

Выразим отсюда площадь $\text{S}$:

$S = \frac{2e|Q|d}{\varepsilon_0 m_e v^2} = \frac{2|Q|d}{\varepsilon_0 v^2} \left(\frac{e}{m_e}\right)$

Подставим числовые значения:

$S = \frac{2 \cdot (5 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}) \cdot (0,02 \text{ м})}{(8,85 \cdot 10^{-12} \text{ Ф/м}) \cdot (10^7 \text{ м/с})^2} \cdot (1,76 \cdot 10^{11} \text{ Кл/кг})$

$S = \frac{0,352 \cdot 10^{-9-12+11+2}}{8,85 \cdot 10^{14}} = \frac{0,352 \cdot 10^2}{8,85 \cdot 10^2} \approx 0,0398 \text{ м}^2$.

Округляя, получаем $S \approx 0,04 \text{ м}^2$.

Ответ: $0,04 \text{ м}^2$.