Вариант 4, страница 136 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

КР-12. Силы электромагнитного взаимодействия неподвижных зарядов. Контрольные работы - страница 136.

Условие.

Вариант 4

I

1. Два точечных одноименных заряда по $2 \cdot 10^{-10}$ Кл каждый находятся на расстоянии 15 см друг от друга. Определите напряженность поля в точке, находящейся на расстоянии 12 см от первого заряда и 9 см от второго заряда.

2. Два одинаковых металлических шарика, имеющих заряды $9 \cdot 10^{-8}$ Кл и $-3 \cdot 10^{-8}$ Кл, приведены в соприкосновение и разведены на прежнее расстояние. Определите отношение модулей сил взаимодействия шариков до и после соприкосновения.

II

3. В трех вершинах квадрата со стороной 30 см находятся точечные заряды по $10^{-9}$ Кл. Определите напряженность электрического поля в четвертой вершине квадрата.

4. Два заряда по $10^{-7}$ Кл расположены на расстоянии 6 см друг от друга. Найдите напряженность поля в точке, удаленной на 5 см от каждого заряда, если заряды разноименные.

III

5. Шарик массой $0,4$ г и зарядом $0,5 \cdot 10^{-6}$ Кл подвешен на нити в однородном электрическом поле, силовые линии которого горизонтальны. На какой угол от вертикали отклонится нить, если напряженность поля равна $8000$ Н/Кл?

6. Маленький шарик массой $3 \cdot 10^{-4}$ кг подвешен на тонкой шелковой нити и имеет заряд $3 \cdot 10^{-7}$ Кл. Каким станет натяжение нити, если снизу к нему на расстоянии 30 см поднести другой шарик с зарядом $5 \cdot 10^{-8}$ Кл того же знака?

Решение.

1. Дано:

$q_1 = q_2 = q = 2 \cdot 10^{-10}$ Кл
$R = 15$ см
$r_1 = 12$ см
$r_2 = 9$ см
$k = 9 \cdot 10^9$ Н·м²/Кл²

$R = 0,15$ м
$r_1 = 0,12$ м
$r_2 = 0,09$ м

Найти:

$\text{E}$

Решение:

Напряженность электрического поля в точке — это векторная сумма напряженностей, создаваемых каждым зарядом в этой точке (принцип суперпозиции): $\vec{E} = \vec{E_1} + \vec{E_2}$.
Расстояния от зарядов до искомой точки ($r_1=12$ см, $r_2=9$ см) и расстояние между зарядами ($R=15$ см) удовлетворяют теореме Пифагора: $9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 = 15^2$. Это означает, что точка, заряды $q_1$ и $q_2$ образуют прямоугольный треугольник, где прямой угол находится в искомой точке. Следовательно, векторы напряженности $\vec{E_1}$ и $\vec{E_2}$ перпендикулярны друг другу.
Модули напряженности полей, создаваемых каждым зарядом, равны:
$E_1 = \frac{k|q_1|}{r_1^2} = \frac{9 \cdot 10^9 \cdot 2 \cdot 10^{-10}}{(0,12)^2} = \frac{1,8}{0,0144} = 125$ Н/Кл.
$E_2 = \frac{k|q_2|}{r_2^2} = \frac{9 \cdot 10^9 \cdot 2 \cdot 10^{-10}}{(0,09)^2} = \frac{1,8}{0,0081} \approx 222,2$ Н/Кл.
Модуль результирующей напряженности найдем по теореме Пифагора:
$E = \sqrt{E_1^2 + E_2^2} = \sqrt{125^2 + 222,2^2} = \sqrt{15625 + 49372,84} = \sqrt{64997,84} \approx 255$ Н/Кл.

Ответ: $E \approx 255$ Н/Кл.

2. Дано:

$q_1 = 9 \cdot 10^{-8}$ Кл
$q_2 = -3 \cdot 10^{-8}$ Кл
Шарики одинаковые, расстояние $\text{r}$ до и после соприкосновения одинаковое.

Найти:

$\frac{F_{до}}{F_{после}}$

Решение:

Сила взаимодействия двух точечных зарядов определяется законом Кулона: $F = k\frac{|q_a q_b|}{r^2}$.
До соприкосновения сила взаимодействия была равна:
$F_{до} = k\frac{|q_1 q_2|}{r^2} = k\frac{|(9 \cdot 10^{-8}) \cdot (-3 \cdot 10^{-8})|}{r^2} = k\frac{27 \cdot 10^{-16}}{r^2}$.
При соприкосновении одинаковых металлических шариков их суммарный заряд перераспределяется поровну. Суммарный заряд:
$Q = q_1 + q_2 = 9 \cdot 10^{-8} - 3 \cdot 10^{-8} = 6 \cdot 10^{-8}$ Кл.
После соприкосновения заряд каждого шарика станет:
$q' = \frac{Q}{2} = \frac{6 \cdot 10^{-8}}{2} = 3 \cdot 10^{-8}$ Кл.
Сила взаимодействия после соприкосновения и разведения на прежнее расстояние:
$F_{после} = k\frac{|q' q'|}{r^2} = k\frac{(3 \cdot 10^{-8})^2}{r^2} = k\frac{9 \cdot 10^{-16}}{r^2}$.
Найдем отношение модулей сил:
$\frac{F_{до}}{F_{после}} = \frac{k\frac{27 \cdot 10^{-16}}{r^2}}{k\frac{9 \cdot 10^{-16}}{r^2}} = \frac{27}{9} = 3$.

Ответ: 3.

3. Дано:

$a = 30$ см
$q_1 = q_2 = q_3 = q = 10^{-9}$ Кл

$a = 0,3$ м

Найти:

$\text{E}$

Решение:

Пусть заряды $\text{q}$ расположены в вершинах квадрата A, B, D, а мы ищем напряженность в вершине C. Поле в точке C является векторной суммой полей, создаваемых зарядами в точках A, B и D: $\vec{E} = \vec{E_A} + \vec{E_B} + \vec{E_D}$.
Модули напряженностей от зарядов в соседних вершинах B и D равны, так как расстояния до C одинаковы и равны стороне квадрата $\text{a}$:
$E_B = E_D = k\frac{|q|}{a^2}$.
Векторы $\vec{E_B}$ и $\vec{E_D}$ перпендикулярны. Их сумма $\vec{E_{BD}}$ направлена по диагонали AC, а ее модуль равен: $E_{BD} = \sqrt{E_B^2 + E_D^2} = \sqrt{2 E_B^2} = E_B\sqrt{2} = k\frac{|q|\sqrt{2}}{a^2}$.
Напряженность от заряда в противоположной вершине A (расстояние $d=a\sqrt{2}$):
$E_A = k\frac{|q|}{(a\sqrt{2})^2} = k\frac{|q|}{2a^2}$.
Вектор $\vec{E_A}$ также направлен по диагонали AC. Так как $\vec{E_A}$ и $\vec{E_{BD}}$ сонаправлены, их результирующий модуль равен сумме их модулей:
$E = E_A + E_{BD} = k\frac{|q|}{2a^2} + k\frac{|q|\sqrt{2}}{a^2} = k\frac{|q|}{a^2}(\frac{1}{2} + \sqrt{2})$.
Подставим числовые значения:
$E = \frac{9 \cdot 10^9 \cdot 10^{-9}}{(0,3)^2} \cdot (\frac{1}{2} + \sqrt{2}) = \frac{9}{0,09} \cdot (0,5 + 1,414) = 100 \cdot 1,914 = 191,4$ Н/Кл.

Ответ: $E = 191,4$ Н/Кл.

4. Дано:

$q_1 = 10^{-7}$ Кл, $q_2 = -10^{-7}$ Кл
$d = 6$ см
$r = 5$ см

$d = 0,06$ м
$r = 0,05$ м

Найти:

$\text{E}$

Решение:

Два заряда и точка, в которой ищется напряженность, образуют равнобедренный треугольник со сторонами 6 см, 5 см, 5 см. Модули напряженностей от каждого заряда в этой точке равны:
$E_1 = E_2 = E_0 = k\frac{|q|}{r^2} = \frac{9 \cdot 10^9 \cdot 10^{-7}}{(0,05)^2} = \frac{900}{0,0025} = 3,6 \cdot 10^5$ Н/Кл.
Вектор $\vec{E_1}$ от положительного заряда направлен от него, а вектор $\vec{E_2}$ к отрицательному заряду. Сложим векторы, используя метод проекций. Расположим заряды на оси X в точках $(-d/2; 0)$ и $(d/2; 0)$. Искомая точка будет иметь координаты $(0; h)$, где $\text{h}$ — высота треугольника. $h = \sqrt{r^2 - (d/2)^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$ см.
Проекции векторов на оси X и Y: $\cos \alpha = \frac{d/2}{r} = \frac{3}{5} = 0,6$; $\sin \alpha = \frac{h}{r} = \frac{4}{5} = 0,8$.
$E_{1x} = E_0 \cos \alpha$, $E_{1y} = E_0 \sin \alpha$.
$E_{2x} = E_0 \cos \alpha$, $E_{2y} = -E_0 \sin \alpha$.
Результирующий вектор: $E_x = E_{1x} + E_{2x} = 2 E_0 \cos \alpha$.
$E_y = E_{1y} + E_{2y} = 0$.
Модуль результирующей напряженности равен $E_x$:
$E = 2 E_0 \cos \alpha = 2 \cdot (3,6 \cdot 10^5) \cdot 0,6 = 4,32 \cdot 10^5$ Н/Кл.
Вектор напряженности направлен параллельно отрезку, соединяющему заряды.

Ответ: $E = 4,32 \cdot 10^5$ Н/Кл.

5. Дано:

$m = 0,4$ г
$q = 0,5 \cdot 10^{-6}$ Кл
$E = 8000$ Н/Кл
$g \approx 10$ м/с²

$m = 0,4 \cdot 10^{-3}$ кг = $4 \cdot 10^{-4}$ кг

Найти:

$\alpha$

Решение:

На шарик в равновесии действуют три силы: сила тяжести $F_g = mg$ (вертикально вниз), сила со стороны электрического поля $F_e = qE$ (горизонтально) и сила натяжения нити $\text{T}$.
В состоянии равновесия векторная сумма сил равна нулю. В проекциях на оси координат (ось Y — вертикально, ось X — горизонтально):
$X: T \sin\alpha - F_e = 0 \implies T \sin\alpha = qE$
$Y: T \cos\alpha - F_g = 0 \implies T \cos\alpha = mg$
Разделим первое уравнение на второе:
$\frac{T \sin\alpha}{T \cos\alpha} = \frac{qE}{mg} \implies \tan\alpha = \frac{qE}{mg}$.
Подставим значения:
$\tan\alpha = \frac{0,5 \cdot 10^{-6} \cdot 8000}{4 \cdot 10^{-4} \cdot 10} = \frac{4 \cdot 10^{-3}}{4 \cdot 10^{-3}} = 1$.
Отсюда, угол $\alpha = \arctan(1) = 45^{\circ}$.

Ответ: $\alpha = 45^{\circ}$.

6. Дано:

$m = 3 \cdot 10^{-4}$ кг
$q_1 = 3 \cdot 10^{-7}$ Кл
$q_2 = 5 \cdot 10^{-8}$ Кл
$r = 30$ см
$g \approx 10$ м/с²

$r = 0,3$ м

Найти:

$\text{T}$

Решение:

На подвешенный шарик действуют три силы, направленные вертикально: сила тяжести $F_g$ (вниз), сила натяжения нити $\text{T}$ (вверх) и сила электрического отталкивания $F_e$ (вверх, так как заряды одноименные, а второй шарик поднесен снизу).
Условие равновесия шарика:
$T + F_e = F_g \implies T = F_g - F_e$.
Найдем модули сил:
Сила тяжести: $F_g = mg = 3 \cdot 10^{-4} \cdot 10 = 3 \cdot 10^{-3}$ Н.
Сила Кулона: $F_e = k\frac{|q_1 q_2|}{r^2} = 9 \cdot 10^9 \frac{(3 \cdot 10^{-7}) \cdot (5 \cdot 10^{-8})}{(0,3)^2} = 9 \cdot 10^9 \frac{15 \cdot 10^{-15}}{0,09} = \frac{135 \cdot 10^{-6}}{0,09} = 1500 \cdot 10^{-6} = 1,5 \cdot 10^{-3}$ Н.
Теперь найдем силу натяжения нити:
$T = 3 \cdot 10^{-3} - 1,5 \cdot 10^{-3} = 1,5 \cdot 10^{-3}$ Н.

Ответ: $T = 1,5 \cdot 10^{-3}$ Н (или 1,5 мН).