Вариант 1, страница 137 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

КР-13. Энергия электромагнитного взаимодействия неподвижных зарядов. Контрольные работы - страница 137.

Условие.

KP-13. Энергия электромагнитного взаимодействия неподвижных зарядов

Вариант 1

I

1. Потенциал заряженного проводника равен 200 В. Определите минимальную скорость, которой должен обладать электрон, чтобы улететь от этого проводника на бесконечно большое расстояние.

2. Найдите электроемкость плоского конденсатора, изготовленного из алюминиевой фольги длиной 1,5 м и шириной 0,9 м. Толщина парафинированной бумаги 0,1 мм. Диэлектрическая проницаемость парафина равна 2.

II

3. Какую работу нужно совершить, чтобы сблизить заряды $2 \cdot 10^{-8}$ Кл и $3 \cdot 10^{-8}$ Кл, находящиеся на расстоянии 10 см, до расстояния 1 см?

4. Два проводящих металлических шара, заряженные до потенциалов соответственно 10 В и 20 В, находятся на расстоянии гораздо большем, чем их радиусы. Радиус первого шара равен 10 см, а второго — 20 см. Каким будет потенциал шаров, если их соединить тонким проводником? Какой заряд при этом перейдет с одного шара на другой?

III

5. Два одинаковых металлических шарика подвешены на нитях равной длины, закрепленных в одной точке. Когда шарикам были сообщены одинаковые по величине и знаку заряды, то нити разошлись на некоторый угол. Какова должна быть диэлектрическая проницаемость жидкого диэлектрика, чтобы при погружении в него этой системы угол расхождения нитей не изменился? Отношение плотности материала шариков к плотности жидкого диэлектрика равно 3.

6. Маленький шарик, несущий заряд 5 нКл, подвешен на нити между вертикальными пластинами плоского воздушного конденсатора. Масса шарика 5 г, площадь пластины конденсатора $0,2 \text{ м}^2$. Определите, на какой угол отклонится от вертикали нить при сообщении пластинам конденсатора заряда $1,77 \cdot 10^{-5}$ Кл.

Решение.

1. Потенциал заряженного проводника равен 200 В. Определите минимальную скорость, которой должен обладать электрон, чтобы улететь от этого проводника на бесконечно большое расстояние.

Дано:
Потенциал проводника $\phi = 200$ В
Заряд электрона $q_e = -1.6 \cdot 10^{-19}$ Кл
Масса электрона $m_e = 9.11 \cdot 10^{-31}$ кг

Найти:

Минимальная скорость электрона $v_{min}$

Решение:

Чтобы электрон смог улететь на бесконечно большое расстояние от проводника, его начальная кинетическая энергия должна быть достаточной для преодоления работы электрического поля. Минимальная скорость соответствует случаю, когда на бесконечности кинетическая энергия электрона становится равной нулю.

Воспользуемся законом сохранения энергии. Начальная энергия электрона у поверхности проводника равна сумме его кинетической и потенциальной энергий:

$E_{нач} = \frac{m_e v^2}{2} + q_e \phi$

Конечная энергия электрона на бесконечном расстоянии (где потенциал $\phi_{\infty} = 0$ и скорость $v_{\infty} = 0$) равна нулю:

$E_{кон} = 0$

По закону сохранения энергии $E_{нач} = E_{кон}$:

$\frac{m_e v^2}{2} + q_e \phi = 0$

Отсюда выражаем минимальную скорость $\text{v}$:

$\frac{m_e v^2}{2} = -q_e \phi$

$v = \sqrt{\frac{-2 q_e \phi}{m_e}}$

Заряд электрона $q_e$ отрицателен, поэтому выражение под корнем положительно. Подставим числовые значения:

$v = \sqrt{\frac{-2 \cdot (-1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}) \cdot (200 \text{ В})}{9.11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}}} = \sqrt{\frac{6.4 \cdot 10^{-17}}{9.11 \cdot 10^{-31}}} \approx \sqrt{7.025 \cdot 10^{13}} \approx 8.38 \cdot 10^6 \text{ м/с}$

Ответ: Минимальная скорость электрона должна быть примерно $8.4 \cdot 10^6$ м/с.

2. Найдите электроемкость плоского конденсатора, изготовленного из алюминиевой фольги длиной 1,5 м и шириной 0,9 м. Толщина парафинированной бумаги 0,1 мм. Диэлектрическая проницаемость парафина равна 2.

Дано:
Длина фольги $l = 1.5$ м
Ширина фольги $w = 0.9$ м
Толщина диэлектрика $d = 0.1$ мм
Диэлектрическая проницаемость $\varepsilon = 2$
Электрическая постоянная $\varepsilon_0 \approx 8.85 \cdot 10^{-12}$ Ф/м

Перевод в СИ:
$d = 0.1 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 10^{-4} \text{ м}$

Найти:

Электроемкость конденсатора $\text{C}$

Решение:

Электроемкость плоского конденсатора вычисляется по формуле:

$C = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{d}$

где $\text{S}$ – площадь пластин конденсатора. Найдем площадь одной пластины (фольги):

$S = l \cdot w = 1.5 \text{ м} \cdot 0.9 \text{ м} = 1.35 \text{ м}^2$

Расстояние между пластинами $\text{d}$ равно толщине парафинированной бумаги.

Подставим все значения в формулу для электроемкости:

$C = \frac{2 \cdot (8.85 \cdot 10^{-12} \text{ Ф/м}) \cdot (1.35 \text{ м}^2)}{10^{-4} \text{ м}} = 23.895 \cdot 10^{-8} \text{ Ф} \approx 2.39 \cdot 10^{-7} \text{ Ф}$

Результат можно также выразить в микрофарадах: $C \approx 0.239$ мкФ.

Ответ: Электроемкость конденсатора примерно равна $2.39 \cdot 10^{-7}$ Ф.

3. Какую работу нужно совершить, чтобы сблизить заряды $2 \cdot 10^{-8}$ Кл и $3 \cdot 10^{-8}$ Кл, находящиеся на расстоянии 10 см, до расстояния 1 см?

Дано:
Заряд $q_1 = 2 \cdot 10^{-8}$ Кл
Заряд $q_2 = 3 \cdot 10^{-8}$ Кл
Начальное расстояние $r_1 = 10$ см
Конечное расстояние $r_2 = 1$ см
Коэффициент в законе Кулона $k \approx 9 \cdot 10^9$ Н·м²/Кл²

Перевод в СИ:
$r_1 = 0.1$ м
$r_2 = 0.01$ м

Найти:

Работа $\text{A}$

Решение:

Работа, совершаемая внешней силой, равна изменению потенциальной энергии системы зарядов:

$A = \Delta W_p = W_{p2} - W_{p1}$

Потенциальная энергия взаимодействия двух точечных зарядов определяется формулой:

$W_p = k \frac{q_1 q_2}{r}$

Таким образом, работа равна:

$A = k \frac{q_1 q_2}{r_2} - k \frac{q_1 q_2}{r_1} = k q_1 q_2 \left(\frac{1}{r_2} - \frac{1}{r_1}\right)$

Подставим числовые значения:

$A = (9 \cdot 10^9) \cdot (2 \cdot 10^{-8}) \cdot (3 \cdot 10^{-8}) \left(\frac{1}{0.01} - \frac{1}{0.1}\right)$

$A = (54 \cdot 10^{-7}) \cdot (100 - 10) = 54 \cdot 10^{-7} \cdot 90 = 4860 \cdot 10^{-7} \text{ Дж} = 4.86 \cdot 10^{-4} \text{ Дж}$

Ответ: Нужно совершить работу, равную $4.86 \cdot 10^{-4}$ Дж.

4. Два проводящих металлических шара, заряженные до потенциалов соответственно 10 В и 20 В, находятся на расстоянии гораздо большем, чем их радиусы. Радиус первого шара равен 10 см, а второго — 20 см. Каким будет потенциал шаров, если их соединить тонким проводником? Какой заряд при этом перейдет с одного шара на другой?

Дано:
Начальный потенциал первого шара $\phi_1 = 10$ В
Начальный потенциал второго шара $\phi_2 = 20$ В
Радиус первого шара $R_1 = 10$ см
Радиус второго шара $R_2 = 20$ см

Перевод в СИ:
$R_1 = 0.1$ м
$R_2 = 0.2$ м

Найти:

Общий потенциал после соединения $\phi'$, перешедший заряд $\Delta q$

Решение:

После соединения шаров проводником они образуют единую проводящую систему, и их потенциалы выравниваются. При этом сохраняется суммарный заряд системы. Емкость уединенного шара $C = 4\pi\varepsilon_0 R$. Общий потенциал $\phi'$ можно найти как отношение полного заряда $\text{Q}$ к полной емкости $\text{C}$:

$\phi' = \frac{Q_{общ}}{C_{общ}} = \frac{q_1 + q_2}{C_1 + C_2} = \frac{C_1\phi_1 + C_2\phi_2}{C_1 + C_2}$

Поскольку $\text{C}$ пропорционально $\text{R}$, получаем:

$\phi' = \frac{R_1\phi_1 + R_2\phi_2}{R_1 + R_2} = \frac{0.1 \cdot 10 + 0.2 \cdot 20}{0.1 + 0.2} = \frac{1 + 4}{0.3} = \frac{5}{0.3} = \frac{50}{3} \approx 16.7 \text{ В}$

Заряд перетекает от шара с большим потенциалом (второго) к шару с меньшим (первому). Перешедший заряд $\Delta q$ можно найти как разность начального и конечного зарядов на одном из шаров. Найдем изменение заряда первого шара. Его начальный заряд $q_1 = C_1\phi_1$, конечный $q'_1 = C_1\phi'$.

$\Delta q = q'_1 - q_1 = C_1(\phi' - \phi_1) = 4\pi\varepsilon_0 R_1 (\phi' - \phi_1)$

Используя $k = 1/(4\pi\varepsilon_0) \approx 9 \cdot 10^9$ Н·м²/Кл², имеем $C_1 = R_1/k$.

$\Delta q = \frac{R_1}{k}(\phi' - \phi_1) = \frac{0.1}{9 \cdot 10^9} \left(\frac{50}{3} - 10\right) = \frac{0.1}{9 \cdot 10^9} \left(\frac{20}{3}\right) = \frac{2}{27 \cdot 10^9} \approx 7.4 \cdot 10^{-11} \text{ Кл}$

Ответ: Потенциал шаров после соединения станет примерно $16.7$ В. С одного шара на другой перейдет заряд около $7.4 \cdot 10^{-11}$ Кл.

5. Два одинаковых металлических шарика подвешены на нитях равной длины, закрепленных в одной точке. Когда шарикам были сообщены одинаковые по величине и знаку заряды, то нити разошлись на некоторый угол. Какова должна быть диэлектрическая проницаемость жидкого диэлектрика, чтобы при погружении в него этой системы угол расхождения нитей не изменился? Отношение плотности материала шариков к плотности жидкого диэлектрика равно 3.

Дано:
Угол расхождения нитей в воздухе и в жидкости одинаков.
Отношение плотностей $\frac{\rho_{ш}}{\rho_{ж}} = 3$

Найти:

Диэлектрическая проницаемость жидкости $\varepsilon$

Решение:

Рассмотрим условие равновесия одного шарика. Пусть $\alpha$ – угол отклонения нити от вертикали.

В воздухе: $\tan\alpha = \frac{F_e}{F_g}$, где $F_e$ – сила Кулона, $F_g$ – сила тяжести.

В жидкости: на шарик действует сила Архимеда $F_A$, а сила Кулона уменьшается в $\varepsilon$ раз. Условие равновесия: $\tan\alpha = \frac{F_e / \varepsilon}{F_g - F_A}$.

Так как угол $\alpha$ не меняется, приравниваем правые части уравнений:

$\frac{F_e}{F_g} = \frac{F_e / \varepsilon}{F_g - F_A}$

$F_g = \varepsilon(F_g - F_A) \implies \varepsilon = \frac{F_g}{F_g - F_A}$

Выразим силы через плотности: $F_g = \rho_{ш}Vg$ и $F_A = \rho_{ж}Vg$, где $\text{V}$ – объем шарика.

$\varepsilon = \frac{\rho_{ш}Vg}{\rho_{ш}Vg - \rho_{ж}Vg} = \frac{\rho_{ш}}{\rho_{ш} - \rho_{ж}}$

Разделим числитель и знаменатель на $\rho_{ж}$:

$\varepsilon = \frac{\rho_{ш}/\rho_{ж}}{(\rho_{ш}/\rho_{ж}) - 1}$

Подставляя данное отношение плотностей $\rho_{ш}/\rho_{ж} = 3$:

$\varepsilon = \frac{3}{3 - 1} = \frac{3}{2} = 1.5$

Ответ: Диэлектрическая проницаемость жидкого диэлектрика должна быть равна 1.5.

6. Маленький шарик, несущий заряд 5 нКл, подвешен на нити между вертикальными пластинами плоского воздушного конденсатора. Масса шарика 5 г, площадь пластины конденсатора 0,2 м². Определите, на какой угол отклонится от вертикали нить при сообщении пластинам конденсатора заряда $1.77 \cdot 10^{-5}$ Кл.

Дано:
Заряд шарика $q = 5$ нКл
Масса шарика $m = 5$ г
Площадь пластин $S = 0.2$ м²
Заряд конденсатора $Q = 1.77 \cdot 10^{-5}$ Кл
$\varepsilon_0 \approx 8.85 \cdot 10^{-12}$ Ф/м

Перевод в СИ:
$q = 5 \cdot 10^{-9}$ Кл
$m = 5 \cdot 10^{-3}$ кг

Найти:

Угол отклонения нити $\alpha$

Решение:

На шарик в равновесии действуют три силы: сила тяжести $F_g = mg$, сила натяжения нити $\text{T}$ и электрическая сила $F_e = qE$. Из условия равновесия следует:

$\tan\alpha = \frac{F_e}{F_g} = \frac{qE}{mg}$

Напряженность поля в воздушном конденсаторе $E = \frac{Q}{\varepsilon_0 S}$. Подставим это в выражение для тангенса угла:

$\tan\alpha = \frac{qQ}{mg\varepsilon_0 S}$

Подставим числовые значения, приняв $g \approx 10$ м/с²:

$\tan\alpha = \frac{(5 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}) \cdot (1.77 \cdot 10^{-5} \text{ Кл})}{(5 \cdot 10^{-3} \text{ кг}) \cdot (10 \text{ м/с²}) \cdot (8.85 \cdot 10^{-12} \text{ Ф/м}) \cdot (0.2 \text{ м²})}$

Заметим, что $\frac{1.77 \cdot 10^{-5}}{8.85 \cdot 10^{-12}} = 2 \cdot 10^6$. Тогда:

$\tan\alpha = \frac{(5 \cdot 10^{-9}) \cdot (2 \cdot 10^6)}{(5 \cdot 10^{-3}) \cdot 10 \cdot 0.2} = \frac{10 \cdot 10^{-3}}{1 \cdot 10^{-2}} = \frac{10^{-2}}{10^{-2}} = 1$

Если $\tan\alpha = 1$, то угол $\alpha$ равен $45^\circ$.

Ответ: Нить отклонится от вертикали на угол $45^\circ$.