Номер 5, страница 80 - гдз по физике 10 класс учебник Казахбаева, Кронгарт

5. Определите недостающие параметры в таблице 17.1:

Таблица 17.1

Газ | $\text{p}$, Па | $\text{n}$, м$^{-3}$ | $v^2$, м$^2$/с$^2$ | $\text{m}$, кг $CO_2$ | ? | $2,7 \cdot 10^{20}$ | $9 \cdot 10^4$ | $7,3 \cdot 10^{-26}$ $O_2$ | $5 \cdot 10^{-21}$ | $10^{24}$ | ? | $5,3 \cdot 10^{-26}$ $H_2$ | $4 \cdot 10^{-21}$ | ? | $2,5 \cdot 10^3$ | $3,3 \cdot 10^{-27}$

Для решения задачи воспользуемся основным уравнением молекулярно-кинетической теории идеального газа, которое связывает давление газа с микроскопическими параметрами его молекул:

$$ p = \frac{1}{3} n m_0 \langle v^2 \rangle $$

где $p$ — давление газа, $n$ — концентрация молекул, $m_0$ — масса одной молекулы, $\langle v^2 \rangle$ — средний квадрат скорости молекул.

Из этой формулы можно выразить любой из недостающих параметров.

Газ CO₂

Дано:

$n = 2,7 \cdot 10^{20} \, \text{м}^{-3}$

$\langle v^2 \rangle = 9 \cdot 10^4 \, \text{м}^2/\text{с}^2$

$m_0 = 7,3 \cdot 10^{-26} \, \text{кг}$

Все данные представлены в системе СИ, перевод не требуется.

Найти:

$p$

Решение:

Используем основное уравнение МКТ для вычисления давления:

$$ p = \frac{1}{3} n m_0 \langle v^2 \rangle $$

Подставим известные значения:

$$ p = \frac{1}{3} \cdot (2,7 \cdot 10^{20}) \cdot (7,3 \cdot 10^{-26}) \cdot (9 \cdot 10^4) $$

$$ p = (0,9 \cdot 10^{20}) \cdot (7,3 \cdot 10^{-26}) \cdot (9 \cdot 10^4) = 0,9 \cdot 7,3 \cdot 9 \cdot 10^{20-26+4} $$

$$ p = 59,13 \cdot 10^{-2} \approx 0,59 \, \text{Па} $$

Ответ: $p \approx 0,59 \, \text{Па}$.

Газ O₂

Дано:

$p = 5 \cdot 10^{-21} \, \text{Па}$

$n = 10^{24} \, \text{м}^{-3}$

$m_0 = 5,3 \cdot 10^{-26} \, \text{кг}$

Все данные представлены в системе СИ, перевод не требуется.

Найти:

$\langle v^2 \rangle$

Решение:

Выразим средний квадрат скорости из основного уравнения МКТ:

$$ \langle v^2 \rangle = \frac{3p}{n m_0} $$

Подставим известные значения:

$$ \langle v^2 \rangle = \frac{3 \cdot (5 \cdot 10^{-21})}{10^{24} \cdot (5,3 \cdot 10^{-26})} $$

$$ \langle v^2 \rangle = \frac{15 \cdot 10^{-21}}{5,3 \cdot 10^{-2}} = \frac{15}{5,3} \cdot 10^{-21 - (-2)} $$

$$ \langle v^2 \rangle \approx 2,83 \cdot 10^{-19} \, \text{м}^2/\text{с}^2 $$

Округляя до двух значащих цифр, получаем:

Ответ: $\langle v^2 \rangle \approx 2,8 \cdot 10^{-19} \, \text{м}^2/\text{с}^2$.

Газ H₂

Дано:

$p = 4 \cdot 10^{-21} \, \text{Па}$

$\langle v^2 \rangle = 2,5 \cdot 10^5 \, \text{м}^2/\text{с}^2$

$m_0 = 3,3 \cdot 10^{-27} \, \text{кг}$

Все данные представлены в системе СИ, перевод не требуется.

Найти:

$n$

Решение:

Выразим концентрацию молекул из основного уравнения МКТ:

$$ n = \frac{3p}{m_0 \langle v^2 \rangle} $$

Подставим известные значения:

$$ n = \frac{3 \cdot (4 \cdot 10^{-21})}{(3,3 \cdot 10^{-27}) \cdot (2,5 \cdot 10^5)} $$

$$ n = \frac{12 \cdot 10^{-21}}{8,25 \cdot 10^{-22}} = \frac{12}{8,25} \cdot 10^{-21 - (-22)} $$

$$ n \approx 1,4545 \cdot 10^1 \approx 14,545 \, \text{м}^{-3} $$

Округляя до двух значащих цифр, получаем:

Ответ: $n \approx 15 \, \text{м}^{-3}$.