Номер 5, страница 79 - гдз по физике 10 класс учебник Казахбаева, Кронгарт

5. Выведите уравнение Менделеева – Клапейрона.

Решение

Уравнение состояния идеального газа, или уравнение Менделеева — Клапейрона, устанавливает связь между давлением $p$, объемом $V$ и абсолютной температурой $T$ для определенного количества газа. Его можно вывести, объединив несколько эмпирических газовых законов.

1. Исходным пунктом является объединенный газовый закон, который является следствием законов Бойля — Мариотта и Гей-Люссака. Для фиксированной массы газа отношение произведения давления на объем к абсолютной температуре является постоянной величиной:

$\frac{pV}{T} = const$

2. Французский физик Б. П. Э. Клапейрон в 1834 году показал, что эта константа зависит от количества газа. Опыт показывает, что эта константа прямо пропорциональна количеству вещества $\nu$, выраженному в молях.

3. Согласно закону Авогадро, в равных объемах различных газов при одинаковых температуре и давлении содержится одинаковое число молекул. Следовательно, 1 моль любого идеального газа при одинаковых условиях ($p$ и $T$) занимает одинаковый объем. Это означает, что константа в объединенном газовом законе, отнесенная к одному молю вещества, будет одинаковой для всех газов. Эту константу называют универсальной газовой постоянной и обозначают $R$.

Для одного моля газа ($\nu = 1$) уравнение Клапейрона принимает вид:

$\frac{pV_m}{T} = R$

где $V_m$ — молярный объем (объем одного моля газа). Значение $R$ можно вычислить, используя известные значения параметров для 1 моля газа при нормальных условиях (н.у.): $T_0 = 273,15$ К, $p_0 = 101325$ Па, $V_m \approx 0.0224$ м³/моль.

$R = \frac{p_0 V_m}{T_0} \approx \frac{101325 \, \text{Па} \cdot 0.0224 \, \text{м}^3/\text{моль}}{273.15 \, \text{К}} \approx 8.31 \, \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}}$

4. Теперь рассмотрим произвольное количество газа $\nu$ молей. Объем, занимаемый этим количеством газа, будет в $\nu$ раз больше молярного объема: $V = \nu \cdot V_m$. Подставим $V_m = V/\nu$ в уравнение для одного моля:

$\frac{p(V/\nu)}{T} = R$

Преобразуем это выражение:

$\frac{pV}{\nu T} = R \Rightarrow pV = \nu RT$

5. Д. И. Менделеев в 1874 году обобщил это уравнение, выразив количество вещества $\nu$ через массу газа $m$ и его молярную массу $M$:

$\nu = \frac{m}{M}$

Подставив это выражение в уравнение $pV = \nu RT$, получаем окончательную форму уравнения Менделеева — Клапейрона:

$pV = \frac{m}{M}RT$

Это уравнение связывает все три макроскопических параметра ($p, V, T$) газа с его массой и родом (через молярную массу $M$).

Ответ: Уравнение Менделеева — Клапейрона имеет вид $pV = \frac{m}{M}RT$, где $p$ — давление газа, $V$ — его объем, $m$ — масса газа, $M$ — его молярная масса, $T$ — абсолютная температура, а $R$ — универсальная газовая постоянная.