Номер 2, страница 79 - гдз по физике 10 класс учебник Казахбаева, Кронгарт

2. Как вывести уравнение состояния идеального газа?

2. Как вывести уравнение состояния идеального газа?

Решение

Уравнение состояния идеального газа, также известное как уравнение Менделеева-Клапейрона, является фундаментальным в молекулярно-кинетической теории. Его вывод основывается на объединении эмпирических газовых законов.

1. Эмпирические газовые законы. Для фиксированной массы газа ($m = \text{const}$) были установлены следующие закономерности:

– Закон Бойля-Мариотта (изотермический процесс, $T = \text{const}$): Произведение давления газа на его объем постоянно. $PV = \text{const}$.

– Закон Гей-Люссака (изобарный процесс, $P = \text{const}$): Объем газа прямо пропорционален его абсолютной температуре. $\frac{V}{T} = \text{const}$.

– Закон Шарля (изохорный процесс, $V = \text{const}$): Давление газа прямо пропорционально его абсолютной температуре. $\frac{P}{T} = \text{const}$.

2. Объединение газовых законов (уравнение Клапейрона). Чтобы связать все три параметра состояния (давление $P$, объем $V$ и температуру $T$), рассмотрим переход газа из состояния 1 ($P_1, V_1, T_1$) в состояние 2 ($P_2, V_2, T_2$) через промежуточное состояние 1-2 ($P_{12}, V_2, T_1$).

– Переход 1 → 1-2: изотермический ($T_1 = \text{const}$). По закону Бойля-Мариотта: $P_1 V_1 = P_{12} V_2$, откуда $P_{12} = \frac{P_1 V_1}{V_2}$.

– Переход 1-2 → 2: изохорный ($V_2 = \text{const}$). По закону Шарля: $\frac{P_{12}}{T_1} = \frac{P_2}{T_2}$.

Подставим выражение для $P_{12}$ из первого процесса во второй:

$\frac{(P_1 V_1 / V_2)}{T_1} = \frac{P_2}{T_2}$

Преобразовав это выражение, получим:

$\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}$

Это означает, что для данной массы газа отношение $\frac{PV}{T}$ является постоянной величиной: $\frac{PV}{T} = \text{const}$. Это уравнение Клапейрона.

3. Учет количества вещества (уравнение Менделеева-Клапейрона). Согласно закону Авогадро, в равных объемах различных газов при одинаковых температуре и давлении содержится одинаковое число молекул. Это означает, что постоянная в уравнении Клапейрона зависит только от количества вещества (числа молей $\nu$), а не от его химической природы.

Для одного моля любого идеального газа ($\nu = 1 \text{ моль}$) при нормальных условиях ($T_0 = 273.15 \text{ К}$, $P_0 = 101325 \text{ Па}$) объем составляет $V_m \approx 22.4 \times 10^{-3} \text{ м}^3/\text{моль}$. Величина $\frac{P_0 V_m}{T_0}$ оказывается одинаковой для всех газов и называется универсальной газовой постоянной$R$:

$R = \frac{P_0 V_m}{T_0} \approx 8.314 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}}$

Таким образом, для одного моля газа $\frac{PV}{T} = R$. Для произвольного количества вещества $\nu$ молей постоянная в правой части уравнения будет пропорциональна количеству вещества:

$\frac{PV}{T} = \nu R$

Отсюда получаем окончательное уравнение состояния идеального газа:

$PV = \nu RT$

Поскольку количество вещества $\nu$ можно выразить через массу газа $m$ и его молярную массу $M$ как $\nu = \frac{m}{M}$, уравнение можно записать в форме:

$PV = \frac{m}{M}RT$

Ответ: Уравнение состояния идеального газа выводится путем объединения законов Бойля-Мариотта, Гей-Люссака и Шарля в уравнение Клапейрона $\frac{PV}{T} = \text{const}$, с последующим учетом закона Авогадро, который устанавливает, что константа пропорциональна количеству вещества $\nu$ через универсальную газовую постоянную $R$. Итоговое уравнение: $PV = \nu RT$ или $PV = \frac{m}{M}RT$.