Номер 1, страница 80 - гдз по физике 10 класс учебник Казахбаева, Кронгарт

1. На дне цилиндра, заполненного воздухом (плотность воздуха $1.29 \text{ кг}/\text{м}^3$), находился пробковый шарик. До какого давления нужно довести идеальный газ, чтобы шарик висел в сжатом воздухе? Температура не меняется. Плотность сжатого воздуха $200 \text{ кг}/\text{м}^3$.

1. Дано:

Начальная плотность воздуха: $ρ_1 = 1.29 \text{ кг/м³}$

Конечная плотность воздуха: $ρ_2 = 200 \text{ кг/м³}$

Температура постоянна: $T = \text{const}$

Начальное давление (принимаем нормальное атмосферное давление): $p_1 \approx 10^5 \text{ Па}$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Конечное давление газа: $p_2$

Решение:

Пробковый шарик будет висеть (плавать) в воздухе, когда его средняя плотность $ρ_{шарика}$ станет равна плотности окружающего его сжатого воздуха $ρ_2$. Условие плавания тел (равенство силы тяжести и выталкивающей силы Архимеда) выглядит так:

$F_A = F_g$

$ρ_{воздуха} \cdot g \cdot V_{шарика} = ρ_{шарика} \cdot g \cdot V_{шарика}$

Отсюда $ρ_{воздуха} = ρ_{шарика}$.

Из условия задачи следует, что шарик висит в сжатом воздухе, плотность которого $ρ_2 = 200 \text{ кг/м³}$. Следовательно, это и есть плотность пробкового шарика.

Процесс сжатия воздуха в цилиндре происходит при постоянной температуре, то есть является изотермическим. Для идеального газа при изотермическом процессе справедлив закон Бойля-Мариотта, однако удобнее использовать связь давления и плотности, вытекающую из уравнения Менделеева-Клапейрона.

Уравнение состояния идеального газа: $p V = \frac{m}{M} R T$.

По определению, плотность газа $ρ = \frac{m}{V}$.

Выразим объем из формулы плотности $V = \frac{m}{ρ}$ и подставим в уравнение состояния:

$p \frac{m}{ρ} = \frac{m}{M} R T$

Сократив массу $m$, получим связь между давлением и плотностью:

$\frac{p}{ρ} = \frac{R T}{M}$

Поскольку в данном процессе температура $T$, молярная масса воздуха $M$ и универсальная газовая постоянная $R$ не меняются, то отношение давления к плотности остается постоянным:

$\frac{p_1}{ρ_1} = \frac{p_2}{ρ_2}$

Из этого соотношения выразим искомое конечное давление $p_2$:

$p_2 = p_1 \cdot \frac{ρ_2}{ρ_1}$

Подставим числовые значения:

$p_2 = 10^5 \text{ Па} \cdot \frac{200 \text{ кг/м³}}{1.29 \text{ кг/м³}} \approx 10^5 \text{ Па} \cdot 155.04 \approx 1.55 \cdot 10^7 \text{ Па}$

Это давление также можно выразить в мегапаскалях: $15.5 \text{ МПа}$.

Ответ: чтобы шарик висел в сжатом воздухе, давление нужно довести до $p_2 \approx 1.55 \cdot 10^7 \text{ Па}$.