Номер 5, страница 83 - гдз по физике 10 класс учебник Казахбаева, Кронгарт

*5. Выведите объединенный закон Бойля — Мариотта и Гей-Люссака на основе экспериментальных законов и из основного уравнения молекулярно-кинетической теории газов.

*5. Решение:

Вывод на основе экспериментальных законов

Объединенный газовый закон связывает давление ($p$), объем ($V$) и абсолютную температуру ($T$) для постоянной массы газа. Для его вывода используем два из трех газовых законов: закон Бойля-Мариотта и закон Гей-Люссака.

- Закон Бойля–Мариотта (для изотермического процесса, $T=const$): $pV = const$.

- Закон Гей-Люссака (для изобарного процесса, $p=const$): $V/T = const$.

Рассмотрим переход произвольной массы газа из начального состояния 1 ($p_1, V_1, T_1$) в конечное состояние 2 ($p_2, V_2, T_2$). Этот переход можно мысленно разбить на два последовательных процесса.

1. Изотермический процесс (переход 1 → 1'). Сначала изменим давление и объем газа от ($p_1, V_1$) до ($p_2, V'$) при постоянной температуре $T_1$. Согласно закону Бойля-Мариотта:

$p_1 V_1 = p_2 V'$

Отсюда выразим промежуточный объем $V'$:

$V' = \frac{p_1 V_1}{p_2}$

2. Изобарный процесс (переход 1' → 2). Теперь изменим температуру и объем газа от ($V', T_1$) до ($V_2, T_2$) при постоянном давлении $p_2$. Согласно закону Гей-Люссака:

$\frac{V'}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$

Подставим в это уравнение выражение для $V'$, полученное на первом шаге:

$\frac{(p_1 V_1 / p_2)}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$

Преобразуем полученное выражение:

$\frac{p_1 V_1}{p_2 T_1} = \frac{V_2}{T_2}$

Перегруппировав члены, получаем:

$\frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2}$

Поскольку состояния 1 и 2 были выбраны произвольно, это означает, что для данной массы газа отношение $\frac{pV}{T}$ остается постоянным.

$\frac{pV}{T} = const$

Вывод из основного уравнения молекулярно-кинетической теории газов

Основное уравнение МКТ для идеального газа имеет вид:

$p = \frac{1}{3} n m_0 \overline{v^2}$

где $p$ — давление газа, $n$ — концентрация молекул ($n=N/V$, где $N$ - число молекул, $V$ - объем), $m_0$ — масса одной молекулы, $\overline{v^2}$ — средний квадрат скорости молекул.

С другой стороны, средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы связана с абсолютной температурой $T$ соотношением:

$\overline{E_k} = \frac{1}{2} m_0 \overline{v^2} = \frac{3}{2} k T$

где $k$ — постоянная Больцмана.

Из этого соотношения выразим $m_0 \overline{v^2}$:

$m_0 \overline{v^2} = 3 k T$

Подставим это выражение в основное уравнение МКТ:

$p = \frac{1}{3} n (3 k T) = n k T$

Теперь подставим в полученную формулу выражение для концентрации $n = N/V$:

$p = \frac{N}{V} k T$

Умножим обе части уравнения на $V$:

$pV = N k T$

Для постоянной массы газа (т.е. постоянного числа молекул $N$) и с учетом того, что $k$ является фундаментальной константой (постоянная Больцмана), произведение $Nk$ является постоянной величиной.

Следовательно, разделив обе части на $T$, получаем:

$\frac{pV}{T} = Nk = const$

Это и есть объединенный газовый закон.

Ответ: Объединенный газовый закон, $\frac{pV}{T} = const$, выводится как путем последовательного применения законов Бойля–Мариотта и Гей-Люссака к переходу между двумя состояниями, так и из основного уравнения МКТ путем подстановки связи между температурой и средней кинетической энергией молекул.