Номер 3, страница 198 - гдз по физике 10 класс учебник Казахбаева, Кронгарт

3. В вертикальном однородном магнитном поле с индукцией $0.2 \, \text{Tl}$ поступательно движется горизонтально расположенный проводник длиной $50 \, \text{cm}$ со скоростью $10 \, \text{m/s}$ так, что его скорость составляет с магнитным полем угол $30^\circ$, а с осью проводника — $60^\circ$. Найдите ЭДС индукции, возникающей в проводнике.

Дано:

Индукция магнитного поля $B = 0,2$ Тл

Длина проводника $l = 50$ см

Скорость проводника $v = 10$ м/с

Угол между вектором скорости и вектором магнитной индукции $\alpha = 30^\circ$

Угол между вектором скорости и осью проводника $\beta = 60^\circ$

Проводник расположен горизонтально, магнитное поле - вертикально.

$l = 50 \text{ см} = 0,5 \text{ м}$

Найти:

ЭДС индукции $\mathcal{E}_i$

Решение:

ЭДС индукции, возникающая в прямолинейном проводнике, который движется в однородном магнитном поле, определяется как работа по перемещению единичного заряда вдоль проводника под действием силы Лоренца. В общем случае эта ЭДС выражается через скалярное смешанное произведение векторов скорости $\vec{v}$, магнитной индукции $\vec{B}$ и вектора $\vec{l}$, который сонаправлен с осью проводника и по модулю равен его длине:

$\mathcal{E}_i = (\vec{v} \times \vec{B}) \cdot \vec{l}$

Геометрически модуль скалярного смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на векторах $\vec{v}$, $\vec{B}$ и $\vec{l}$. Если эти три вектора лежат в одной плоскости (являются копланарными), то объем такого параллелепипеда равен нулю, и, следовательно, ЭДС индукции также будет равна нулю.

Проанализируем геометрию векторов в данной задаче:

1. Проводник расположен горизонтально, а магнитное поле — вертикально. Это означает, что угол между вектором $\vec{l}$ (ось проводника) и вектором $\vec{B}$ (магнитная индукция) составляет $90^\circ$.

2. По условию, угол между вектором скорости $\vec{v}$ и вектором магнитной индукции $\vec{B}$ равен $\alpha = 30^\circ$.

3. По условию, угол между вектором скорости $\vec{v}$ и осью проводника (вектором $\vec{l}$) равен $\beta = 60^\circ$.

Мы имеем три вектора, выходящих из одной точки, с углами между ними: $\angle(\vec{l}, \vec{B}) = 90^\circ$, $\angle(\vec{v}, \vec{B}) = 30^\circ$, $\angle(\vec{v}, \vec{l}) = 60^\circ$.

Заметим, что сумма двух меньших углов равна третьему: $30^\circ + 60^\circ = 90^\circ$. Это является условием того, что три вектора лежат в одной плоскости. То есть векторы $\vec{v}$, $\vec{B}$ и $\vec{l}$ копланарны.

Поскольку векторы копланарны, их скалярное смешанное произведение равно нулю:

$\mathcal{E}_i = 0$

С физической точки зрения это означает следующее: сила Лоренца $\vec{F}_L = q(\vec{v} \times \vec{B})$, действующая на свободные заряды в проводнике, всегда перпендикулярна плоскости, в которой лежат векторы скорости $\vec{v}$ и индукции $\vec{B}$. Так как вектор проводника $\vec{l}$ также лежит в этой плоскости, сила Лоренца оказывается строго перпендикулярной проводнику. Такая сила не может вызвать направленного движения зарядов вдоль проводника и, следовательно, не создает ЭДС индукции.

Ответ: ЭДС индукции, возникающей в проводнике, равна $0$ В.