Номер 7, страница 17, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

7. Поезд движется на север со скоростью 20 м/с. Пассажиру вертолета, пролетающего над поездом, кажется, что поезд движется на запад со скоростью 20 м/с. Найти скорость вертолета и направление его полета.

(Ответ: 28 км/ч на северо-восток под углом 45°)

Дано:

Скорость поезда относительно земли, $ \vec{v_п} $

$ v_п = 20 \, м/с $ (направление на север)

Скорость поезда относительно вертолета, $ \vec{v_{пв}} $

$ v_{пв} = 20 \, м/с $ (направление на запад)

Все данные приведены в системе СИ.

Найти:

Скорость вертолета относительно земли $ \vec{v_в} $ (модуль $ v_в $ и направление).

Решение:

Закон сложения скоростей связывает скорость поезда относительно вертолета ($ \vec{v_{пв}} $) со скоростями поезда ($ \vec{v_п} $) и вертолета ($ \vec{v_в} $) относительно неподвижной системы отсчета (земли):

$ \vec{v_{пв}} = \vec{v_п} - \vec{v_в} $

Чтобы найти скорость вертолета, выразим $ \vec{v_в} $ из этого уравнения:

$ \vec{v_в} = \vec{v_п} - \vec{v_{пв}} $

Это векторное уравнение. Для его решения введем декартову систему координат. Направим ось OY на север, а ось OX на восток. Тогда направления на юг и запад будут соответствовать отрицательным направлениям осей.

Запишем известные скорости в виде векторов с проекциями на оси:

• Скорость поезда $ \vec{v_п} $ направлена на север (вдоль оси OY), поэтому ее проекции равны: $ v_{пx} = 0 $; $ v_{пy} = 20 \, м/с $.

• Скорость поезда относительно вертолета $ \vec{v_{пв}} $ направлена на запад (против оси OX), поэтому ее проекции равны: $ v_{пвx} = -20 \, м/с $; $ v_{пвy} = 0 $.

Теперь найдем проекции искомой скорости вертолета $ \vec{v_в} $:

$ v_{вx} = v_{пx} - v_{пвx} = 0 - (-20) = 20 \, м/с $

$ v_{вy} = v_{пy} - v_{пвy} = 20 - 0 = 20 \, м/с $

Вектор скорости вертолета имеет две положительные проекции $ \vec{v_в} = (20; 20) $. Это значит, что вертолет движется в направлении между севером (ось OY) и востоком (ось OX), то есть на северо-восток.

Модуль скорости вертолета найдем по теореме Пифагора:

$ v_в = \sqrt{v_{вx}^2 + v_{вy}^2} = \sqrt{(20 \, м/с)^2 + (20 \, м/с)^2} = \sqrt{400 + 400} = \sqrt{800} = \sqrt{400 \cdot 2} = 20\sqrt{2} \, м/с $

Приближенное значение скорости: $ v_в \approx 20 \cdot 1.414 \approx 28.28 \, м/с $. Округляя, получаем $ 28 \, м/с $.

Направление полета определим как угол $ \alpha $ между вектором скорости $ \vec{v_в} $ и восточным направлением (осью OX):

$ \text{tg}(\alpha) = \frac{v_{вy}}{v_{вx}} = \frac{20}{20} = 1 $

Следовательно, угол $ \alpha = \text{arctg}(1) = 45^\circ $.

Вертолет летит на северо-восток под углом $ 45^\circ $ к востоку (и, соответственно, под углом $ 45^\circ $ к северу).

Примечание: в ответе, указанном в условии, скорее всего допущена опечатка в единицах измерения (км/ч вместо м/с), так как числовое значение совпадает с расчетом.

Ответ: скорость вертолета равна $ 20\sqrt{2} \approx 28 \, м/с $, направление полета — на северо-восток под углом $ 45^\circ $ к восточному направлению.