Вопрос внутри параграфа, страница 30, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

Причем время подъема и время падения одинаковы, если не учитывать сопротивление воздуха. Докажите это.

Подумайте, каким образом принцип независимости движений поможет нам определить уравнения движения тела, брошенного горизонтально и под углом к горизонту?

Причем время подъема и время падения одинаковы, если не учитывать сопротивление воздуха. Докажите это Дано:

Тело, брошенное вертикально вверх.

Начальная скорость: $v_0$.

Ускорение свободного падения: $\text{g}$.

Сопротивление воздуха не учитывается.

Найти:

Доказать, что время подъема $t_{подъема}$ равно времени падения $t_{падения}$.

Решение:

Рассмотрим движение тела в системе отсчета, связанной с Землей. Направим ось OY вертикально вверх, а начало отсчета ($y_0=0$) поместим в точку броска. В этом случае на тело действует только сила тяжести, сообщающая ему ускорение $\vec{g}$, направленное вертикально вниз. Таким образом, проекция ускорения на ось OY будет $a_y = -g$.

Движение тела является равноускоренным. Зависимость проекции скорости на ось OY от времени имеет вид:

$v_y(t) = v_{0y} + a_y t = v_0 - gt$

где $v_0$ — модуль начальной скорости, направленной вверх.

Зависимость координаты тела от времени (уравнение движения):

$y(t) = y_0 + v_{0y} t + \frac{a_y t^2}{2} = v_0 t - \frac{gt^2}{2}$

Найдем время подъема $t_{подъема}$. В верхней точке траектории скорость тела становится равной нулю, то есть $v_y(t_{подъема}) = 0$.

$0 = v_0 - g \cdot t_{подъема}$

Отсюда время подъема:

$t_{подъема} = \frac{v_0}{g}$

Теперь найдем общее время полета $t_{полета}$. Это время, через которое тело вернется в начальную точку, то есть его координата снова станет равной нулю, $y(t_{полета}) = 0$.

$0 = v_0 t_{полета} - \frac{g t_{полета}^2}{2}$

$t_{полета} \left( v_0 - \frac{g t_{полета}}{2} \right) = 0$

Это уравнение имеет два корня: $t=0$ (момент начала движения) и $v_0 - \frac{g t_{полета}}{2} = 0$.

Из второго корня находим время полета:

$t_{полета} = \frac{2v_0}{g}$

Общее время полета складывается из времени подъема и времени падения: $t_{полета} = t_{подъема} + t_{падения}$.

Мы видим, что $t_{полета} = \frac{2v_0}{g} = 2 \cdot \frac{v_0}{g} = 2 \cdot t_{подъема}$.

Следовательно, $2 \cdot t_{подъема} = t_{подъема} + t_{падения}$.

Отсюда получаем, что $t_{падения} = t_{подъема}$. Что и требовалось доказать.

Ответ:

Движение тела, брошенного вертикально вверх, является симметричным при отсутствии сопротивления воздуха. Время, затраченное на подъем до максимальной высоты ($t_{подъема} = v_0/g$), равно времени, затраченному на падение с этой высоты до начальной точки ($t_{падения} = v_0/g$), так как общее время полета составляет $t_{полета} = 2v_0/g = t_{подъема} + t_{падения}$.

Подумайте, каким образом принцип независимости движений поможет нам определить уравнения движения тела, брошенного горизонтально и под углом к горизонту?

Решение:

Принцип независимости движений утверждает, что сложное движение тела можно рассматривать как совокупность нескольких независимых движений вдоль взаимно перпендикулярных координатных осей. Это означает, что движение тела вдоль одной оси происходит так, как будто движения вдоль других осей не существует.

Этот принцип является основополагающим для описания движения тела, брошенного горизонтально или под углом к горизонту (при условии, что сопротивлением воздуха можно пренебречь). Движение такого тела является двумерным (происходит в вертикальной плоскости). Используя принцип независимости, мы можем разложить это сложное криволинейное движение на два простых, независимых одномерных движения:

1. Движение по горизонтали (вдоль оси OX).

В горизонтальном направлении на тело не действуют никакие силы (так как сопротивление воздуха не учитывается), поэтому его ускорение в этом направлении равно нулю ($a_x = 0$). Следовательно, горизонтальная составляющая скорости постоянна, и движение является равномерным.

Уравнения для горизонтального движения:

Проекция скорости: $v_x(t) = v_{0x}$

Координата: $x(t) = x_0 + v_{0x} t$

где $v_{0x}$ — проекция начальной скорости на ось OX.

2. Движение по вертикали (вдоль оси OY).

В вертикальном направлении на тело действует постоянная сила тяжести, которая сообщает ему постоянное ускорение свободного падения $\vec{g}$, направленное вниз. Если направить ось OY вверх, то проекция ускорения $a_y = -g$. Следовательно, вертикальное движение является равноускоренным.

Уравнения для вертикального движения:

Проекция скорости: $v_y(t) = v_{0y} - gt$

Координата: $y(t) = y_0 + v_{0y} t - \frac{gt^2}{2}$

где $v_{0y}$ — проекция начальной скорости на ось OY.

Таким образом, принцип независимости движений позволяет свести одну сложную задачу о движении по криволинейной (параболической) траектории к двум независимым и гораздо более простым задачам: о равномерном прямолинейном движении и о равноускоренном прямолинейном движении.

Для получения уравнений движения в конкретном случае нужно лишь определить начальные условия. Если тело брошено со скоростью $v_0$ под углом $\alpha$ к горизонту, то $v_{0x} = v_0 \cos \alpha$ и $v_{0y} = v_0 \sin \alpha$. Если тело брошено горизонтально, то угол $\alpha = 0$, и $v_{0x} = v_0$, а $v_{0y} = 0$. Подставив эти значения в приведенные выше уравнения, мы получаем полное описание положения $(x(t), y(t))$ и скорости $(v_x(t), v_y(t))$ тела в любой момент времени.

Ответ:

Принцип независимости движений позволяет разложить сложное двумерное движение тела, брошенного в поле тяжести, на два независимых одномерных движения: равномерное по горизонтали (так как нет горизонтальных сил) и равноускоренное по вертикали (под действием постоянной силы тяжести). Это дает возможность описать траекторию и кинематические характеристики тела (координаты, скорость) с помощью простых уравнений для каждой оси в отдельности, а затем рассматривать их совместно для получения полной картины движения.