Номер 5, страница 27, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

5. Два автобуса трогаются с места с одинаковыми ускорениями $4 \text{ м/с}^2$ навстречу друг другу из пунктов А и В, между которыми $100 \text{ м}$. Какова их относительная скорость в момент их встречи?

(Ответ: $40 \text{ м/с}$

Дано:

Ускорение первого автобуса: $a_1 = 4$ м/с²

Ускорение второго автобуса: $a_2 = 4$ м/с²

Начальная скорость первого автобуса: $v_{01} = 0$ м/с (трогается с места)

Начальная скорость второго автобуса: $v_{02} = 0$ м/с (трогается с места)

Расстояние между пунктами А и В: $S = 100$ м

Найти:

Относительная скорость автобусов в момент встречи: $v_{отн}$

Решение:

Данную задачу удобно решать в системе отсчета, связанной с одним из автобусов. Найдем относительное ускорение автобусов. Так как они движутся навстречу друг другу, их скорости и ускорения направлены в противоположные стороны. Если направить ось X от пункта А к пункту В, то ускорение первого автобуса будет $a_1$, а второго $-a_2$.

Относительное ускорение одного тела относительно другого определяется как $a_{отн} = a_1 - (-a_2) = a_1 + a_2$.

$a_{отн} = 4 \text{ м/с²} + 4 \text{ м/с²} = 8 \text{ м/с²}$

Начальная относительная скорость автобусов равна нулю, так как оба начинают движение из состояния покоя: $v_{0,отн} = v_{01} + v_{02} = 0 + 0 = 0$.

До момента встречи автобусы совместно преодолеют расстояние $\text{S}$. Движение с точки зрения относительности можно рассматривать как движение одного тела с начальной скоростью $v_{0,отн}$ и ускорением $a_{отн}$, которое проходит путь $\text{S}$.

Для нахождения конечной относительной скорости $v_{отн}$ воспользуемся формулой для равноускоренного движения, связывающей путь, скорость и ускорение, без использования времени:

$S = \frac{v_{отн}^2 - v_{0,отн}^2}{2 a_{отн}}$

Так как начальная относительная скорость $v_{0,отн} = 0$, формула упрощается:

$S = \frac{v_{отн}^2}{2 a_{отн}}$

Выразим из этой формулы искомую относительную скорость $v_{отн}$:

$v_{отн}^2 = 2 \cdot S \cdot a_{отн}$

$v_{отн} = \sqrt{2 \cdot S \cdot a_{отн}}$

Подставим числовые значения в формулу:

$v_{отн} = \sqrt{2 \cdot 100 \text{ м} \cdot 8 \text{ м/с²}} = \sqrt{1600 \text{ м²/с²}} = 40 \text{ м/с}$

Ответ: 40 м/с.