Номер 2, страница 27, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

*2. Два поезда прошли одинаковый путь за одно и то же время. Однако один поезд, трогаясь с места, прошел весь путь равноускоренно с ускорением $3 \text{ см/с}^2$. Другой поезд первую половину пути шел со скоростью $18 \text{ км/ч}$, а вторую половину — со скоростью $54 \text{ км/ч}$. Найдите пройденный путь.

(Ответ: $3,75 \text{ км}$)

Дано:

Для первого поезда (равноускоренное движение):

Начальная скорость $v_{01} = 0$ м/с (трогаясь с места)

Ускорение $a_1 = 3$ см/с²

Для второго поезда (движение с постоянной скоростью на двух участках):

Скорость на первой половине пути $v_{2a} = 18$ км/ч

Скорость на второй половине пути $v_{2b} = 54$ км/ч

Перевод в систему СИ:

$a_1 = 3 \text{ см/с}^2 = 0.03 \text{ м/с}^2$

$v_{2a} = 18 \text{ км/ч} = 18 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 5 \text{ м/с}$

$v_{2b} = 54 \text{ км/ч} = 54 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 15 \text{ м/с}$

Найти:

Пройденный путь $\text{S}$.

Решение:

Обозначим искомый путь как $\text{S}$, а общее время движения как $\text{t}$. По условию задачи, оба поезда прошли одинаковый путь $\text{S}$ за одинаковое время $\text{t}$.

1. Движение первого поезда.

Первый поезд движется равноускоренно из состояния покоя. Путь, пройденный им, описывается формулой:

$S = v_{01}t + \frac{a_1 t^2}{2}$

Так как начальная скорость $v_{01} = 0$, то формула упрощается:

$S = \frac{a_1 t^2}{2}$ (1)

2. Движение второго поезда.

Второй поезд движется с постоянной скоростью на двух равных участках пути, каждый длиной $S/2$.

Время, затраченное на первую половину пути ($t_{2a}$):

$t_{2a} = \frac{S/2}{v_{2a}} = \frac{S}{2v_{2a}}$

Время, затраченное на вторую половину пути ($t_{2b}$):

$t_{2b} = \frac{S/2}{v_{2b}} = \frac{S}{2v_{2b}}$

Общее время движения второго поезда $\text{t}$ равно сумме времен на каждом участке:

$t = t_{2a} + t_{2b} = \frac{S}{2v_{2a}} + \frac{S}{2v_{2b}} = \frac{S}{2} \left( \frac{1}{v_{2a}} + \frac{1}{v_{2b}} \right)$ (2)

3. Совместное решение уравнений.

Выразим время $\text{t}$ из уравнения (1):

$t^2 = \frac{2S}{a_1} \implies t = \sqrt{\frac{2S}{a_1}}$

Теперь приравняем выражения для времени из анализа движения первого и второго поездов:

$\sqrt{\frac{2S}{a_1}} = \frac{S}{2} \left( \frac{1}{v_{2a}} + \frac{1}{v_{2b}} \right)$

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$\frac{2S}{a_1} = \frac{S^2}{4} \left( \frac{1}{v_{2a}} + \frac{1}{v_{2b}} \right)^2$

Так как пройденный путь $S \neq 0$, можно сократить обе части уравнения на $\text{S}$:

$\frac{2}{a_1} = \frac{S}{4} \left( \frac{1}{v_{2a}} + \frac{1}{v_{2b}} \right)^2$

Выразим из этого уравнения искомый путь $\text{S}$. Для начала приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$\frac{1}{v_{2a}} + \frac{1}{v_{2b}} = \frac{v_{2b} + v_{2a}}{v_{2a}v_{2b}}$

Подставим это в уравнение для $\text{S}$:

$\frac{2}{a_1} = \frac{S}{4} \left( \frac{v_{2a} + v_{2b}}{v_{2a}v_{2b}} \right)^2$

Теперь выразим $\text{S}$:

$S = \frac{8}{a_1} \cdot \left( \frac{v_{2a}v_{2b}}{v_{2a} + v_{2b}} \right)^2 = \frac{8(v_{2a}v_{2b})^2}{a_1(v_{2a} + v_{2b})^2}$

4. Вычисление.

Подставим числовые значения в систему СИ:

$S = \frac{8 \cdot (5 \cdot 15)^2}{0.03 \cdot (5 + 15)^2} = \frac{8 \cdot (75)^2}{0.03 \cdot (20)^2} = \frac{8 \cdot 5625}{0.03 \cdot 400} = \frac{45000}{12} = 3750$ м.

Переведем метры в километры:

$S = 3750 \text{ м} = 3.75 \text{ км}$.

Ответ: пройденный путь составляет 3,75 км.