Номер 3, страница 27, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

3. Два тела движутся прямолинейно вдоль оси ОХ так, что их координаты следующим образом зависят от времени: $x_1 = 2 + 2t + t^2$ (м), $x_2 = -7 - 6t + 2t^2$ (м). Определите модуль относительной скорости тел в момент их встречи. Тела начали двигаться одновременно.

(Ответ: $v_{\text{отн}} = 10 \text{ м/с}$)

Дано:

Уравнение движения первого тела: $x_1(t) = 2 + 2t + t^2$ (м)

Уравнение движения второго тела: $x_2(t) = -7 - 6t + 2t^2$ (м)

Все величины в задаче представлены в системе СИ.

Найти:

$v_{отн}$ — модуль относительной скорости тел в момент их встречи.

Решение:

1. Момент встречи тел определяется условием равенства их координат: $x_1(t) = x_2(t)$.

Подставим заданные уравнения движения:

$2 + 2t + t^2 = -7 - 6t + 2t^2$

Сгруппируем все члены уравнения в одной части, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $at^2 + bt + c = 0$:

$(2t^2 - t^2) + (-6t - 2t) + (-7 - 2) = 0$

$t^2 - 8t - 9 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100$

Найдем корни уравнения:

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{8 - 10}{2} = -1$ с

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 10}{2} = 9$ с

Поскольку время не может быть отрицательным, физический смысл имеет только второй корень. Таким образом, встреча тел произойдет в момент времени $t_{встр} = 9$ с.

2. Чтобы найти скорости тел, необходимо взять первую производную от их координат по времени: $v(t) = x'(t)$.

Скорость первого тела:

$v_1(t) = (2 + 2t + t^2)' = 2 + 2t$ (м/с)

Скорость второго тела:

$v_2(t) = (-7 - 6t + 2t^2)' = -6 + 4t$ (м/с)

3. Теперь вычислим скорости каждого тела в момент их встречи, то есть при $t = 9$ с:

$v_1(9) = 2 + 2 \cdot 9 = 2 + 18 = 20$ м/с

$v_2(9) = -6 + 4 \cdot 9 = -6 + 36 = 30$ м/с

4. Модуль относительной скорости равен модулю разности скоростей тел:

$v_{отн} = |v_2(t_{встр}) - v_1(t_{встр})| = |30 - 20| = 10$ м/с

Ответ: $v_{отн} = 10$ м/с.