Номер 6, страница 68, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

*6. Шайба, пущенная вверх по наклонной плоскости с углом наклона $30^{\circ}$, со временем останавливается и соскальзывает вниз. Время спуска в 1,5 раза больше времени подъема. Определите коэффициент трения.

(Ответ: 0,22)

Дано:

Угол наклона плоскости $\alpha = 30^\circ$

Соотношение времени спуска и подъема $\frac{t_{сп}}{t_{под}} = 1.5$

Найти:

Коэффициент трения $\mu$

Решение:

Рассмотрим движение шайбы на двух участках: при подъеме и при спуске. Путь, пройденный шайбой вверх и вниз, одинаков и равен $\text{S}$.

1. Движение вверх (подъем).

На шайбу действуют сила тяжести $m\vec{g}$, сила реакции опоры $\vec{N}$ и сила трения скольжения $\vec{F}_{тр}$. При движении вверх сила трения направлена вниз вдоль наклонной плоскости. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси координат. Ось $Ox$ направим вверх вдоль плоскости, ось $Oy$ – перпендикулярно плоскости.

Проекция на ось $Oy$: $N - mg \cos \alpha = 0$, откуда $N = mg \cos \alpha$.

Сила трения: $F_{тр} = \mu N = \mu mg \cos \alpha$.

Проекция на ось $Ox$: $ma_{под} = mg \sin \alpha + F_{тр} = mg \sin \alpha + \mu mg \cos \alpha$.

Отсюда модуль ускорения при подъеме (это ускорение торможения):

$a_{под} = g(\sin \alpha + \mu \cos \alpha)$.

Путь, пройденный телом при равноускоренном движении из состояния покоя, равен $S = \frac{at^2}{2}$. Движение вверх можно рассматривать как обращенное во времени движение с тем же ускорением из состояния покоя. Поэтому путь подъема равен $S = \frac{a_{под} t_{под}^2}{2}$.

$S = \frac{g(\sin \alpha + \mu \cos \alpha) t_{под}^2}{2}$ (1)

2. Движение вниз (спуск).

При движении вниз сила трения направлена вверх вдоль наклонной плоскости. Направим ось $Ox$ вниз вдоль плоскости.

Проекция на ось $Ox$: $ma_{сп} = mg \sin \alpha - F_{тр} = mg \sin \alpha - \mu mg \cos \alpha$.

Отсюда ускорение при спуске:

$a_{сп} = g(\sin \alpha - \mu \cos \alpha)$.

Шайба начинает спуск из состояния покоя и проходит тот же путь $\text{S}$ за время $t_{сп}$:

$S = \frac{a_{сп} t_{сп}^2}{2}$.

$S = \frac{g(\sin \alpha - \mu \cos \alpha) t_{сп}^2}{2}$ (2)

3. Нахождение коэффициента трения.

Приравняем правые части уравнений (1) и (2):

$\frac{g(\sin \alpha + \mu \cos \alpha) t_{под}^2}{2} = \frac{g(\sin \alpha - \mu \cos \alpha) t_{сп}^2}{2}$

Сократим $\frac{g}{2}$ и перегруппируем члены:

$(\sin \alpha + \mu \cos \alpha) t_{под}^2 = (\sin \alpha - \mu \cos \alpha) t_{сп}^2$

Обозначим $k = \frac{t_{сп}}{t_{под}} = 1.5$. Тогда $t_{сп}^2 = k^2 t_{под}^2$.

$\sin \alpha + \mu \cos \alpha = (\sin \alpha - \mu \cos \alpha) k^2$

Раскроем скобки и выразим $\mu$:

$\sin \alpha + \mu \cos \alpha = k^2 \sin \alpha - k^2 \mu \cos \alpha$

$\mu \cos \alpha + k^2 \mu \cos \alpha = k^2 \sin \alpha - \sin \alpha$

$\mu \cos \alpha (1 + k^2) = \sin \alpha (k^2 - 1)$

$\mu = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \frac{k^2 - 1}{k^2 + 1} = \tan \alpha \frac{k^2 - 1}{k^2 + 1}$

Подставим числовые значения:

$\mu = \tan 30^\circ \cdot \frac{1.5^2 - 1}{1.5^2 + 1} = \tan 30^\circ \cdot \frac{2.25 - 1}{2.25 + 1} = \tan 30^\circ \cdot \frac{1.25}{3.25}$

$\mu = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1.25}{3.25} \approx 0.577 \cdot 0.3846 \approx 0.222$

Ответ: $\mu \approx 0.22$.