Номер 7, страница 68, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

*7. Длинная доска массой 2 кг лежит на гладком горизонтальном столе. На доске находится брусок массой 1 кг. Коэффициент трения между доской и бруском 0,2. К бруску приложена внешняя сила, параллельная доске, модуль которой меняется по закону $F= \beta t$, где $\beta = 1,5 \text{ Н/с}$. Через какое время брусок начнет скользить по доске? Изобразите графически зависимость ускорения бруска и доски от времени.

(Ответ: 2 с)

Дано:

Масса доски $m_2 = 2$ кг

Масса бруска $m_1 = 1$ кг

Коэффициент трения $μ = 0,2$

Закон изменения силы $F = βt$, где $β = 1,5$ Н/с

Стол гладкий, трением между доской и столом пренебрегаем.

Ускорение свободного падения примем равным $g = 10$ м/с².

Все данные уже представлены в системе СИ.

Найти:

1. $\text{t}$ — время, через которое брусок начнет скользить по доске.

2. Графики зависимостей $a_1(t)$ и $a_2(t)$.

Решение:

1. Нахождение времени начала скольжения

Пока внешняя сила $\text{F}$ не очень велика, брусок и доска движутся вместе как единое целое, без проскальзывания. Это возможно благодаря силе трения покоя $F_{тр}$ между ними. В этом случае их ускорения равны: $a_1 = a_2 = a$.

Запишем второй закон Ньютона для системы "брусок + доска". Внешней горизонтальной силой, действующей на систему, является только сила $\text{F}$.

$F = (m_1 + m_2)a$

Отсюда ускорение системы тел до начала проскальзывания зависит от времени:

$a(t) = \frac{F(t)}{m_1 + m_2} = \frac{βt}{m_1 + m_2}$

Теперь рассмотрим силы, действующие на доску ($m_2$) отдельно. Единственная горизонтальная сила, которая заставляет доску ускоряться, — это сила трения покоя $F_{тр}$ со стороны бруска.

$F_{тр} = m_2 a = m_2 \frac{βt}{m_1 + m_2}$

Сила трения покоя не может превышать своего максимального значения, которое равно силе трения скольжения:

$F_{тр.макс} = μN_1$

где $N_1$ — сила нормальной реакции, действующая на брусок со стороны доски. В вертикальном направлении брусок покоится, поэтому $N_1$ равна силе тяжести бруска:

$N_1 = m_1 g$

Следовательно, $F_{тр.макс} = μ m_1 g$.

Скольжение начнется в тот момент времени $\text{t}$, когда сила трения, необходимая для совместного движения, достигнет своего максимального значения:

$F_{тр} = F_{тр.макс}$

$m_2 \frac{βt}{m_1 + m_2} = μ m_1 g$

Выразим из этого уравнения время $\text{t}$:

$t = \frac{μ m_1 g (m_1 + m_2)}{m_2 β}$

Подставим числовые значения:

$t = \frac{0,2 \cdot 1 \cdot 10 \cdot (1 + 2)}{2 \cdot 1,5} = \frac{2 \cdot 3}{3} = 2$ с

Ответ: брусок начнет скользить по доске через 2 с.

2. Графики зависимостей ускорения бруска и доски от времени

Рассмотрим два интервала времени.

Интервал 1: $0 \le t \le 2$ с (доска и брусок движутся вместе)

Как мы уже выяснили, на этом интервале ускорения бруска и доски равны и изменяются по линейному закону:

$a_1(t) = a_2(t) = a(t) = \frac{βt}{m_1 + m_2} = \frac{1,5t}{1 + 2} = 0,5t$

Это линейная функция, проходящая через начало координат. В момент $t=2$ с ускорение достигнет значения:

$a(2) = 0,5 \cdot 2 = 1$ м/с²

Интервал 2: $t > 2$ с (брусок скользит по доске)

Теперь между телами действует сила трения скольжения, которая постоянна по величине:

$F_{тр.ск} = μ m_1 g = 0,2 \cdot 1 \cdot 10 = 2$ Н

Запишем второй закон Ньютона для каждого тела отдельно.

Для бруска ($m_1$):

На брусок действуют внешняя сила $F(t)$ и сила трения скольжения $F_{тр.ск}$, направленная против движения.

$F(t) - F_{тр.ск} = m_1 a_1(t)$

$βt - μ m_1 g = m_1 a_1(t)$

$a_1(t) = \frac{βt - μ m_1 g}{m_1} = \frac{1,5t - 2}{1} = 1,5t - 2$

Это также линейная функция, но с большим углом наклона.

Для доски ($m_2$):

На доску действует только сила трения скольжения со стороны бруска $F_{тр.ск}$, направленная в сторону движения.

$F_{тр.ск} = m_2 a_2(t)$

$μ m_1 g = m_2 a_2(t)$

$a_2(t) = \frac{μ m_1 g}{m_2} = \frac{2}{2} = 1$ м/с²

После начала скольжения ускорение доски становится постоянным.

Построение графика:

• При $0 \le t \le 2$ с графики ускорений $a_1(t)$ и $a_2(t)$ совпадают. Это отрезок прямой, соединяющий точки (0; 0) и (2; 1).
• При $t > 2$ с графики расходятся:
  • График ускорения доски $a_2(t)$ — это горизонтальная прямая, выходящая из точки (2; 1) и идущая на уровне $a_2 = 1$ м/с².
  • График ускорения бруска $a_1(t)$ — это луч, выходящий из той же точки (2; 1) и идущий вверх под большим углом (уравнение $a_1 = 1,5t - 2$).

Ответ: Графически зависимости ускорений от времени представляют собой две ломаные линии. От $t=0$ до $t=2$ с графики совпадают и являются отрезком прямой, соединяющим точки с координатами (0 с; 0 м/с²) и (2 с; 1 м/с²). При $t>2$ с ускорение доски постоянно и равно 1 м/с² (график — горизонтальный луч), а ускорение бруска продолжает расти линейно по закону $a_1(t) = 1,5t - 2$ (график — луч с большим наклоном, выходящий из точки (2 с; 1 м/с²)).