Номер 2, страница 67, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

$(Ответ: T_{mp.1} = 0,511, T_{mp.2} = 1,23 \text{Н})$

2. Ящик массой 100 кг равномерно передвигают по полу с помощью веревки. Веревка образует угол 60° с полом. Коэффициент трения между ящиком и полом 0,4. Определите силу натяжения веревки, под действием которой движется ящик.

(Ответ: 200 Н)

Дано:

Масса ящика $m = 100$ кг

Угол $\alpha = 60^\circ$

Коэффициент трения $\mu = 0,4$

Движение равномерное, следовательно, ускорение $a = 0$ м/с$^2$

Примем ускорение свободного падения $g \approx 10$ м/с$^2$

Найти:

Силу натяжения веревки $\text{T}$.

Решение:

На ящик, движущийся по горизонтальной поверхности, действуют четыре силы:

1. Сила тяжести $\vec{F_g} = m\vec{g}$, направленная вертикально вниз.

2. Сила реакции опоры $\vec{N}$, направленная перпендикулярно полу вверх.

3. Сила натяжения веревки $\vec{T}$, направленная под углом $\alpha$ к горизонту.

4. Сила трения скольжения $\vec{F}_{тр}$, направленная горизонтально в сторону, противоположную движению.

Поскольку ящик движется равномерно, его ускорение равно нулю. Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая всех сил, приложенных к телу, равна нулю: $$ \vec{T} + m\vec{g} + \vec{N} + \vec{F}_{тр} = 0 $$

Для решения задачи запишем это векторное уравнение в проекциях на оси координат. Направим ось OX горизонтально по направлению движения, а ось OY — вертикально вверх.

Сумма проекций сил на ось OX: $$ T_x - F_{тр} = 0 $$ Горизонтальная составляющая силы натяжения $T_x = T \cos\alpha$. Таким образом: $$ T \cos\alpha = F_{тр} \quad (1) $$

Сумма проекций сил на ось OY: $$ N + T_y - mg = 0 $$ Вертикальная составляющая силы натяжения $T_y = T \sin\alpha$. Таким образом: $$ N + T \sin\alpha - mg = 0 $$ Из этого уравнения выразим силу реакции опоры $\text{N}$: $$ N = mg - T \sin\alpha \quad (2) $$

Сила трения скольжения определяется по формуле: $$ F_{тр} = \mu N \quad (3) $$

Теперь объединим полученные уравнения. Подставим выражение для $F_{тр}$ из уравнения (1) и для $\text{N}$ из уравнения (2) в уравнение (3): $$ T \cos\alpha = \mu (mg - T \sin\alpha) $$

Решим полученное уравнение относительно $\text{T}$: $$ T \cos\alpha = \mu mg - \mu T \sin\alpha $$ $$ T \cos\alpha + \mu T \sin\alpha = \mu mg $$ $$ T (\cos\alpha + \mu \sin\alpha) = \mu mg $$ $$ T = \frac{\mu mg}{\cos\alpha + \mu \sin\alpha} $$

Подставим числовые значения: $$ \cos(60^\circ) = 0,5 $$ $$ \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866 $$ $$ T = \frac{0,4 \cdot 100 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2}{0,5 + 0,4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{400 \text{ Н}}{0,5 + 0,2\sqrt{3}} $$ $$ T \approx \frac{400}{0,5 + 0,2 \cdot 1,732} = \frac{400}{0,5 + 0,3464} = \frac{400}{0,8464} \approx 472,58 \text{ Н} $$

Ответ: $T \approx 473$ Н.