Номер 8, страница 68, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

*8. Дождевая капля падает из облака с большой высоты в безветренную погоду. На некоторой высоте ускорение капли равно $5 \text{ м/с}^2$, а скорость $6 \text{ м/с}$. Вблизи земли капля движется с постоянной скоростью. Определите модуль этой скорости. Силу сопротивления считать прямо пропорциональной скорости капли относительно воздуха.

(Ответ: $12 \text{ м/с}$)

Дано:

$a_1 = 5 \text{ м/с}^2$

$v_1 = 6 \text{ м/с}$

$F_c = kv$

$g \approx 10 \text{ м/с}^2$ (ускорение свободного падения)

Найти:

$v_t$ - модуль постоянной скорости капли вблизи земли.

Решение:

На падающую дождевую каплю действуют две силы: сила тяжести $F_g = mg$, направленная вертикально вниз, и сила сопротивления воздуха $F_c$, направленная вертикально вверх.

Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая этих сил равна произведению массы капли $\text{m}$ на ее ускорение $\text{a}$. Выберем положительное направление оси Y вниз. Тогда уравнение движения капли будет иметь вид:

$ma = F_g - F_c$

По условию, сила сопротивления воздуха прямо пропорциональна скорости капли: $F_c = kv$, где $\text{k}$ — коэффициент пропорциональности.

Подставим выражения для сил в уравнение движения:

$ma = mg - kv$

На некоторой высоте даны ускорение капли $a_1 = 5 \text{ м/с}^2$ и ее скорость $v_1 = 6 \text{ м/с}$. Подставим эти значения в уравнение:

$m \cdot 5 = m \cdot 10 - k \cdot 6$

$6k = 10m - 5m$

$6k = 5m$

Из этого соотношения мы можем найти отношение коэффициента сопротивления к массе капли:

$\frac{k}{m} = \frac{5}{6} \text{ с}^{-1}$

Вблизи земли капля движется с постоянной скоростью, которую мы обозначим $v_t$. Постоянная скорость означает, что ускорение капли равно нулю ($a=0$). В этот момент силы, действующие на каплю, уравновешивают друг друга.

Подставим $a=0$ и $v=v_t$ в наше основное уравнение движения:

$m \cdot 0 = mg - kv_t$

$0 = mg - kv_t$

$kv_t = mg$

Выразим отсюда искомую скорость $v_t$:

$v_t = \frac{mg}{k} = g \cdot \frac{m}{k}$

Мы уже нашли отношение $\frac{k}{m} = \frac{5}{6}$, следовательно, обратное отношение $\frac{m}{k} = \frac{6}{5}$. Подставим это значение в формулу для $v_t$:

$v_t = 10 \cdot \frac{6}{5} = 2 \cdot 6 = 12 \text{ м/с}$

Ответ: $12 \text{ м/с}$.