Номер 1, страница 71, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

Экспериментируйте

Необходимо экспериментально определить плотность металла, находящегося в одном из кусков пластилина, если известно, что массы пластилина в обоих кусках одинаковы. Извлекать металл из пластилина не разрешается. В вашем распоряжении находятся весы с разновесами и стакан с водой. Изложите теорию работы, методику проведения работы и расчет ошибок.

Дано:

Два куска пластилина (в одном из них находится металлический предмет).

Массы пластилина в обоих кусках одинаковы ($m_п$).

Весы с разновесами.

Стакан с водой.

Найти:

Плотность металла $ρ_м$.

Решение:

Теория работы

Плотность вещества $ρ$ определяется как отношение массы тела $\text{m}$ к его объему $\text{V}$: $ρ = \frac{m}{V}$ Следовательно, для определения плотности металла $ρ_м$ необходимо найти его массу $m_м$ и объем $V_м$.

1. Нахождение массы металла ($m_м$).

Обозначим кусок чистого пластилина как "образец 1", а кусок с металлом внутри - "образец 2". Их массы, измеренные в воздухе, обозначим $M_1$ и $M_2$ соответственно.

Масса образца 1 равна массе пластилина: $M_1 = m_п$.

Масса образца 2 складывается из массы пластилина и массы металла: $M_2 = m_п + m_м$.

Поскольку массы пластилина в обоих кусках по условию одинаковы, массу металлического предмета можно найти как разность масс двух образцов:

$m_м = M_2 - M_1$

2. Нахождение объема металла ($V_м$).

Объем металла найдем, используя закон Архимеда. Объем тела, полностью погруженного в жидкость, можно определить методом гидростатического взвешивания.

Сила Архимеда, действующая на тело, равна $F_А = ρ_в \cdot g \cdot V$, где $ρ_в$ - плотность воды, $\text{g}$ - ускорение свободного падения, $\text{V}$ - объем тела.

При взвешивании в воде весы показывают кажущуюся массу $M_{app}$, которая связана с истинной массой $\text{M}$ соотношением: $M_{app} \cdot g = M \cdot g - F_А$.

Отсюда $M_{app} \cdot g = M \cdot g - ρ_в \cdot g \cdot V$.

Сократив на $\text{g}$, получим: $V = \frac{M - M_{app}}{ρ_в}$.

Объем образца 1 (чистый пластилин) равен $V_1$. Так как масса пластилина в кусках одинакова, то и его объем одинаков: $V_1 = V_п$.

$V_1 = \frac{M_1 - M_{1,app}}{ρ_в}$

Объем образца 2 состоит из объема пластилина $V_п$ и объема металла $V_м$: $V_2 = V_п + V_м$.

$V_2 = \frac{M_2 - M_{2,app}}{ρ_в}$

Объем металла равен разности объемов двух образцов:

$V_м = V_2 - V_1 = \frac{M_2 - M_{2,app}}{ρ_в} - \frac{M_1 - M_{1,app}}{ρ_в} = \frac{M_2 - M_1 - (M_{2,app} - M_{1,app})}{ρ_в}$

3. Расчетная формула.

Подставляем выражения для массы и объема металла в исходную формулу плотности:

$ρ_м = \frac{m_м}{V_м} = \frac{M_2 - M_1}{\frac{M_2 - M_1 - (M_{2,app} - M_{1,app})}{ρ_в}}$

Итоговая расчетная формула:

$ρ_м = ρ_в \frac{M_2 - M_1}{M_2 - M_1 - M_{2,app} + M_{1,app}}$

Методика проведения работы

1. Промаркировать куски пластилина: "образец 1" (без металла) и "образец 2" (с металлом).

2. С помощью весов с разновесами измерить массу образца 1 в воздухе. Записать результат как $M_1$.

3. Измерить массу образца 2 в воздухе. Записать результат как $M_2$.

4. Налить в стакан воду. Подвесить образец 1 на тонкой, прочной нити к коромыслу весов. Полностью погрузить образец в воду так, чтобы он не касался дна и стенок стакана. Измерить кажущуюся массу образца 1 в воде. Записать результат как $M_{1,app}$.

5. Повторить процедуру из п. 4 для образца 2. Записать его кажущуюся массу в воде как $M_{2,app}$.

6. Используя табличное значение плотности воды $ρ_в$ (при комнатной температуре около 1000 кг/м³ или 1 г/см³), рассчитать плотность металла по выведенной выше формуле.

Расчет ошибок

Результат измерений должен быть представлен в виде $ρ_м = \bar{ρ}_м \pm Δρ_м$, где $\bar{ρ}_м$ - среднее значение измеренной плотности, а $Δρ_м$ - абсолютная погрешность.

Источники погрешностей:

1. Инструментальная погрешность: погрешность весов $ΔM$. Обычно принимается равной половине цены деления шкалы или точности набора разновесов.

2. Систематические погрешности: неточность табличного значения плотности воды (зависит от температуры), объем и вес нити, выталкивающая сила, действующая на нить.

3. Случайные погрешности: прилипшие к поверхности образцов пузырьки воздуха, неточность снятия показаний, колебания весов.

Расчет абсолютной погрешности $Δρ_м$ проводится через относительную погрешность $ε_{ρ_м}$.

$ε_{ρ_м} = \frac{Δρ_м}{\bar{ρ}_м}$

Для итоговой формулы $ρ_м = ρ_в \frac{m_м}{V_м'}$ (где $m_м = M_2 - M_1$ и $V_м' = M_2 - M_1 - M_{2,app} + M_{1,app}$) относительная погрешность равна сумме относительных погрешностей сомножителей (в наихудшем случае):

$ε_{ρ_м} \approx ε_{ρ_в} + ε_{m_м} + ε_{V_м'}$

- $ε_{ρ_в} = \frac{Δρ_в}{ρ_в}$ - относительная погрешность табличного значения плотности воды.

- $ε_{m_м} = \frac{Δm_м}{m_м}$. Погрешность разности $m_м = M_2 - M_1$ равна $Δm_м = ΔM_1 + ΔM_2$. Если инструментальная погрешность весов $ΔM$, то $Δm_м = 2ΔM$. Тогда $ε_{m_м} = \frac{2ΔM}{M_2 - M_1}$.

- $ε_{V_м'} = \frac{ΔV_м'}{V_м'}$. Погрешность $V_м'$ равна $ΔV_м' = ΔM_2 + ΔM_1 + ΔM_{2,app} + ΔM_{1,app} = 4ΔM$. Тогда $ε_{V_м'} = \frac{4ΔM}{M_2 - M_1 - M_{2,app} + M_{1,app}}$.

Суммарная относительная погрешность:

$ε_{ρ_м} \approx \frac{Δρ_в}{ρ_в} + \frac{2ΔM}{M_2 - M_1} + \frac{4ΔM}{M_2 - M_1 - M_{2,app} + M_{1,app}}$

Абсолютная погрешность вычисляется как $Δρ_м = \bar{ρ}_м \cdot ε_{ρ_м}$.

Для уменьшения погрешностей следует использовать как можно более тонкую нить, тщательно удалять пузырьки воздуха с поверхности образцов и проводить измерения несколько раз для усреднения результата.

Ответ:

Для определения плотности металла необходимо: 1. Измерить массы двух кусков пластилина в воздухе ($M_1$ и $M_2$). 2. Измерить их кажущиеся массы при полном погружении в воду ($M_{1,app}$ и $M_{2,app}$). 3. Рассчитать плотность металла по формуле: $ρ_м = ρ_в \frac{M_2 - M_1}{M_2 - M_1 - M_{2,app} + M_{1,app}}$, где $ρ_в$ - плотность воды. Погрешность вычисляется на основе погрешностей измерительных приборов и табличных данных.