Номер 8, страница 77, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

8. На каком расстоянии от центра Земли сила притяжения космического корабля к Земле в 2 раза больше силы его притяжения к Луне? Масса Луны в 81 раз меньше массы Земли.

(Ответ: 333000 км)

Дано:

Отношение силы притяжения к Земле и к Луне: $ \frac{F_З}{F_Л} = 2 $

Отношение массы Земли к массе Луны: $ \frac{M_З}{M_Л} = 81 $

Среднее расстояние между центрами Земли и Луны (справочное значение): $ R = 384400 \text{ км} $

Перевод в систему СИ:

$ R = 384400 \text{ км} = 3.844 \cdot 10^8 \text{ м} $

Найти:

$ r_З $ — расстояние от центра Земли до космического корабля.

Решение:

Запишем закон всемирного тяготения для сил, действующих на космический корабль со стороны Земли и Луны. Пусть $ m $ — масса корабля, $ M_З $ и $ M_Л $ — массы Земли и Луны соответственно.

Сила притяжения к Земле: $ F_З = G \frac{M_З m}{r_З^2} $, где $ r_З $ — искомое расстояние от центра Земли до корабля.

Сила притяжения к Луне: $ F_Л = G \frac{M_Л m}{r_Л^2} $, где $ r_Л $ — расстояние от центра Луны до корабля.

Будем считать, что корабль находится на прямой, соединяющей центры Земли и Луны, между ними. Тогда сумма расстояний от корабля до центров Земли и Луны равна расстоянию между Землей и Луной: $ r_З + r_Л = R $. Отсюда выразим расстояние до Луны: $ r_Л = R - r_З $.

По условию задачи, $ F_З = 2 F_Л $. Подставим выражения для сил: $ G \frac{M_З m}{r_З^2} = 2 \cdot G \frac{M_Л m}{r_Л^2} $

Сократим гравитационную постоянную $ G $ и массу корабля $ m $: $ \frac{M_З}{r_З^2} = \frac{2 M_Л}{r_Л^2} $

Используем соотношение масс $ M_З = 81 M_Л $ и подставим выражение для $ r_Л $: $ \frac{81 M_Л}{r_З^2} = \frac{2 M_Л}{(R - r_З)^2} $

Сократим массу Луны $ M_Л $: $ \frac{81}{r_З^2} = \frac{2}{(R - r_З)^2} $

Преобразуем уравнение: $ 81 (R - r_З)^2 = 2 r_З^2 $

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения (так как расстояния — величины положительные): $ 9 (R - r_З) = \sqrt{2} r_З $

Раскроем скобки и выразим $ r_З $: $ 9R - 9r_З = \sqrt{2} r_З $

$ 9R = 9r_З + \sqrt{2} r_З $

$ 9R = r_З(9 + \sqrt{2}) $

$ r_З = \frac{9R}{9 + \sqrt{2}} $

Подставим числовые значения. Используем $ \sqrt{2} \approx 1.414 $: $ r_З = \frac{9 \cdot 384400 \text{ км}}{9 + 1.414} = \frac{3459600 \text{ км}}{10.414} \approx 332245 \text{ км} $

Результат, округленный до тысяч километров, составляет 332 000 км. Ответ в задачнике (333 000 км) может получиться при использовании немного других справочных данных или округлений. Например, если использовать $R \approx 385000$ км, то результат будет ближе к ответу. Тем не менее, полученное значение очень близко к указанному в ответе.

Ответ: расстояние от центра Земли составляет приблизительно $ 332245 \text{ км} $, что близко к ответу $ 333000 \text{ км} $.