Номер 3, страница 77, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

*3. У поверхности Земли на тело действует сила всемирного тяготения 72 Н. Чему равна сила тяготения, действующая на это тело в радиальной шахте глубиной $R_з/4$? Землю считать однородным шаром.

(Ответ: 54 Н)

*3. Дано:

Сила всемирного тяготения на поверхности Земли, $F_1 = 72$ Н.

Глубина радиальной шахты, $h = R_з/4$, где $R_з$ - радиус Земли.

Земля считается однородным шаром.

Найти:

Силу тяготения на глубине $\text{h}$, $F_2$.

Решение:

Сила всемирного тяготения, действующая на тело массой $\text{m}$ на поверхности Земли (масса $M_з$, радиус $R_з$), определяется по закону всемирного тяготения: $F_1 = G \frac{M_з m}{R_з^2}$, где $\text{G}$ - гравитационная постоянная.

Поскольку Земля считается однородным шаром, ее массу можно выразить через плотность $\rho$ и объем $V_з = \frac{4}{3}\pi R_з^3$: $M_з = \rho \cdot V_з = \rho \frac{4}{3}\pi R_з^3$.

Подставив это в формулу для силы $F_1$, получим: $F_1 = G \frac{(\rho \frac{4}{3}\pi R_з^3) m}{R_з^2} = \frac{4}{3}\pi G \rho m R_з$.

Когда тело находится в шахте на глубине $h = R_з/4$, расстояние от центра Земли до тела составляет: $r = R_з - h = R_з - \frac{R_з}{4} = \frac{3}{4}R_з$.

Согласно теореме о сферической оболочке (следствие закона всемирного тяготения), сила притяжения внутри планеты на расстоянии $\text{r}$ от центра определяется только массой $M'$, заключенной внутри сферы радиуса $\text{r}$.

Масса этой внутренней части Земли $M'$ равна: $M' = \rho \cdot V' = \rho \frac{4}{3}\pi r^3$.

Сила тяготения $F_2$, действующая на тело на этой глубине, равна: $F_2 = G \frac{M' m}{r^2} = G \frac{(\rho \frac{4}{3}\pi r^3) m}{r^2} = \frac{4}{3}\pi G \rho m r$.

Теперь найдем отношение сил $F_2$ и $F_1$, чтобы исключить неизвестные величины ($G, \rho, m$): $\frac{F_2}{F_1} = \frac{\frac{4}{3}\pi G \rho m r}{\frac{4}{3}\pi G \rho m R_з} = \frac{r}{R_з}$.

Отсюда можно выразить $F_2$: $F_2 = F_1 \cdot \frac{r}{R_з}$.

Подставим известные соотношения $r = \frac{3}{4}R_з$ и $F_1 = 72$ Н: $F_2 = F_1 \cdot \frac{\frac{3}{4}R_з}{R_з} = F_1 \cdot \frac{3}{4}$. $F_2 = 72 \text{ Н} \cdot \frac{3}{4} = 18 \cdot 3 \text{ Н} = 54 \text{ Н}$.

Ответ: 54 Н.