Номер 6, страница 77, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

6. Рассчитайте массу и среднюю плотность Земли. Радиус Земли 6400 км.

(Ответ: $6 \cdot 10 \text{ кг}$; $\approx 5467 \text{ кг/м}^3$)

Дано:

Радиус Земли, $R = 6400$ км.

Для решения задачи также потребуются справочные значения:

Ускорение свободного падения у поверхности Земли, $g \approx 9.8$ м/с$^2$.

Гравитационная постоянная, $G \approx 6.67 \cdot 10^{-11}$ $\frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$.

$R = 6400 \text{ км} = 6400 \cdot 10^3 \text{ м} = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}$.

Найти:

Массу Земли $\text{M}$ — ?

Среднюю плотность Земли $\rho_{ср}$ — ?

Решение:

Сначала рассчитаем массу Земли. Сила тяжести, действующая на тело массой $\text{m}$ на поверхности Земли, равна $F = mg$. По закону всемирного тяготения, эта же сила описывается формулой $F = G \frac{Mm}{R^2}$, где $\text{M}$ - масса Земли, а $\text{R}$ - её радиус. Приравняв эти два выражения, получим:

$mg = G \frac{Mm}{R^2}$

Сократив массу тела $\text{m}$, можно выразить массу Земли $\text{M}$:

$M = \frac{gR^2}{G}$

Подставим числовые значения в СИ:

$M = \frac{9.8 \text{ м/с}^2 \cdot (6.4 \cdot 10^6 \text{ м})^2}{6.67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}} = \frac{9.8 \cdot 40.96 \cdot 10^{12}}{6.67 \cdot 10^{-11}} \text{ кг} \approx 6.02 \cdot 10^{24} \text{ кг}$.

Теперь рассчитаем среднюю плотность Земли. Средняя плотность - это отношение массы к объему: $\rho_{ср} = \frac{M}{V}$.

Примем Землю за идеальный шар, объем которого вычисляется по формуле: $V = \frac{4}{3}\pi R^3$.

Вычислим объем:

$V = \frac{4}{3}\pi (6.4 \cdot 10^6 \text{ м})^3 \approx \frac{4}{3} \cdot 3.1416 \cdot 262.144 \cdot 10^{18} \text{ м}^3 \approx 1.098 \cdot 10^{21} \text{ м}^3$.

Теперь найдем плотность, используя ранее вычисленную массу и объем:

$\rho_{ср} = \frac{6.02 \cdot 10^{24} \text{ кг}}{1.098 \cdot 10^{21} \text{ м}^3} \approx 5483 \text{ кг/м}^3$.

Полученные значения хорошо согласуются со справочными данными. Небольшое расхождение с ответом, приведенным в условии ($5467 \text{ кг/м}^3$), объясняется использованием округленных значений констант $\text{g}$ и $\text{G}$.

Ответ: масса Земли $M \approx 6.02 \cdot 10^{24}$ кг; средняя плотность Земли $\rho_{ср} \approx 5483$ кг/м$^3$.