Номер 1, страница 77, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

1. Определите число оборотов первого искусственного спутника Земли за сутки, если радиус его орбиты равен 7340 км?

(Ответ: 14)

1. Дано:

Радиус орбиты спутника, $R = 7340$ км

Время, $t = 1$ сутки

Гравитационная постоянная, $G \approx 6.67 \cdot 10^{-11} \frac{Н \cdot м^2}{кг^2}$

Масса Земли, $M_З \approx 5.97 \cdot 10^{24}$ кг

Перевод в систему СИ:

$R = 7340 \cdot 10^3 м = 7.34 \cdot 10^6$ м

$t = 1 \cdot 24 \cdot 3600 с = 86400$ с

Найти:

Число оборотов за сутки, $\text{N}$.

Решение:

Спутник движется по круговой орбите под действием силы всемирного тяготения со стороны Земли. Эта сила сообщает спутнику центростремительное ускорение.

Согласно второму закону Ньютона:

$F_г = m \cdot a_ц$

где $F_г$ — сила гравитационного притяжения, $\text{m}$ — масса спутника, $a_ц$ — центростремительное ускорение.

Сила гравитационного притяжения определяется по формуле:

$F_г = G \frac{M_З \cdot m}{R^2}$

Центростремительное ускорение связано с орбитальной скоростью $\text{v}$ и радиусом орбиты $\text{R}$:

$a_ц = \frac{v^2}{R}$

Приравняем выражения для силы:

$G \frac{M_З \cdot m}{R^2} = m \frac{v^2}{R}$

Отсюда можно выразить квадрат скорости спутника (масса спутника $\text{m}$ сокращается):

$v^2 = G \frac{M_З}{R}$

Тогда первая космическая скорость для данной орбиты равна:

$v = \sqrt{G \frac{M_З}{R}}$

Период обращения $\text{T}$ — это время, за которое спутник совершает один полный оборот. Он равен отношению длины орбиты (длины окружности $2\pi R$) к скорости движения $\text{v}$:

$T = \frac{2\pi R}{v} = \frac{2\pi R}{\sqrt{G \frac{M_З}{R}}} = 2\pi \sqrt{\frac{R^3}{G M_З}}$

Подставим числовые значения в систему СИ для вычисления периода обращения:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{(7.34 \cdot 10^6 м)^3}{6.67 \cdot 10^{-11} \frac{Н \cdot м^2}{кг^2} \cdot 5.97 \cdot 10^{24} кг}} \approx 6.28 \cdot \sqrt{\frac{3.95 \cdot 10^{20} м^3}{3.98 \cdot 10^{14} \frac{м^3}{с^2}}}$

$T \approx 6.28 \cdot \sqrt{0.992 \cdot 10^6 с^2} \approx 6.28 \cdot 996 с \approx 6255$ с

Теперь найдем число оборотов $\text{N}$, которое спутник совершит за сутки ($t = 86400$ с). Для этого нужно общее время разделить на время одного оборота:

$N = \frac{t}{T} = \frac{86400 с}{6255 с} \approx 13.81$

Полученное значение необходимо округлить до целого числа, так как в вопросе требуется определить "число оборотов". Округляя до ближайшего целого, получаем 14.

Ответ: 14.