Номер 2, страница 77, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

*2. На экваторе некоторой планеты тела весят втрое меньше, чем на полюсе. Период обращения планеты вокруг своей оси равен 55 мин. Найдите плотность планеты, считая ее однородным шаром.

(Ответ: 19450 кг/м³)

Дано:

Соотношение весов: $P_п = 3 P_э$

Период обращения: $T = 55 \text{ мин}$

Гравитационная постоянная: $G \approx 6.674 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$

$T = 55 \text{ мин} = 55 \cdot 60 \text{ с} = 3300 \text{ с}$

Найти:

Плотность планеты: $\rho$

Решение:

Вес тела на полюсе $P_п$ обусловлен только силой гравитационного притяжения:

$P_п = mg = m \frac{GM}{R^2}$

где $\text{m}$ — масса тела, $\text{g}$ — ускорение свободного падения, $\text{G}$ — гравитационная постоянная, $\text{M}$ — масса планеты, $\text{R}$ — радиус планеты.

На экваторе вес тела $P_э$ уменьшается за счет действия центробежной силы, направленной против силы тяжести. Вес на экваторе равен разности силы тяжести и центробежной силы:

$P_э = mg - m a_ц$

где $a_ц$ — центростремительное ускорение, равное $a_ц = \omega^2 R$. Здесь $\omega$ — угловая скорость вращения планеты.

По условию задачи вес на экваторе втрое меньше, чем на полюсе:

$P_э = \frac{1}{3} P_п$

Подставим выражения для весов:

$mg - m a_ц = \frac{1}{3} mg$

Сократив на $\text{m}$, получим:

$g - a_ц = \frac{1}{3}g$

$a_ц = g - \frac{1}{3}g = \frac{2}{3}g$

Теперь подставим формулы для ускорений $a_ц$ и $\text{g}$:

$\omega^2 R = \frac{2}{3} \frac{GM}{R^2}$

Масса планеты $\text{M}$, считая ее однородным шаром, выражается через плотность $\rho$ и объем $V = \frac{4}{3}\pi R^3$:

$M = \rho V = \rho \frac{4}{3}\pi R^3$

Подставим выражение для массы в наше уравнение:

$\omega^2 R = \frac{2}{3} \frac{G}{R^2} \left( \rho \frac{4}{3}\pi R^3 \right)$

$\omega^2 R = \frac{8}{9} G \rho \pi R$

Сократим $\text{R}$ и выразим плотность $\rho$:

$\omega^2 = \frac{8}{9} G \rho \pi$

$\rho = \frac{9\omega^2}{8G\pi}$

Угловая скорость $\omega$ связана с периодом обращения $\text{T}$ как $\omega = \frac{2\pi}{T}$. Подставим это в формулу для плотности:

$\rho = \frac{9 \left( \frac{2\pi}{T} \right)^2}{8G\pi} = \frac{9 \cdot 4\pi^2}{8G\pi T^2} = \frac{9\pi}{2GT^2}$

Теперь подставим числовые значения в систему СИ:

$\rho = \frac{9 \cdot 3.14159}{2 \cdot (6.674 \cdot 10^{-11}) \cdot (3300)^2} \approx \frac{28.274}{2 \cdot 6.674 \cdot 10^{-11} \cdot 10890000} \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

$\rho \approx \frac{28.274}{1.4536 \cdot 10^{-3}} \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \approx 19451.6 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Округлив до целого значения, получаем $\rho \approx 19450 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$.

Ответ: плотность планеты составляет примерно $19450 \text{ кг/м}^3$.