Номер 7, страница 77, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

*7. Определите плотность вещества белого карлика, если минимальный период обращения его искусственного спутника равен 4 с.

(Ответ: $8,8 \cdot 10^9 \text{ кг/м}^3$)

*7. Дано:

Минимальный период обращения спутника, $T_{min} = 4$ с

Гравитационная постоянная, $G \approx 6.67 \cdot 10^{-11}$ м³/(кг·с²)

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Плотность вещества белого карлика, $\rho$ — ?

Решение:

Минимальный период обращения спутника соответствует орбите с наименьшим возможным радиусом. Наименьший радиус орбиты равен радиусу самого небесного тела, в данном случае — радиусу белого карлика $\text{R}$. Спутник при этом будет двигаться у самой поверхности.

Движение спутника по круговой орбите происходит под действием силы всемирного тяготения, которая сообщает ему центростремительное ускорение. Согласно второму закону Ньютона: $F_g = F_c$ $G \frac{M m}{R^2} = m a_c$ где $\text{M}$ – масса белого карлика, $\text{m}$ – масса спутника, $\text{R}$ – радиус белого карлика (и радиус орбиты), $a_c$ – центростремительное ускорение.

Центростремительное ускорение связано со скоростью движения $\text{v}$ по орбите как $a_c = \frac{v^2}{R}$. $G \frac{M m}{R^2} = m \frac{v^2}{R}$

Сократив массу спутника $\text{m}$ и радиус $\text{R}$, получим: $G \frac{M}{R} = v^2$

Скорость движения по орбите связана с периодом обращения $\text{T}$ соотношением $v = \frac{2\pi R}{T}$. Подставим это выражение в предыдущую формулу: $G \frac{M}{R} = \left(\frac{2\pi R}{T}\right)^2 = \frac{4\pi^2 R^2}{T^2}$

Выразим отсюда квадрат периода обращения $T^2$ (это третий закон Кеплера для круговой орбиты): $T^2 = \frac{4\pi^2 R^3}{GM}$

Плотность вещества белого карлика $\rho$ определяется как отношение его массы $\text{M}$ к объему $\text{V}$. Будем считать карлик сферой, тогда его объем $V = \frac{4}{3}\pi R^3$. Масса карлика через плотность: $M = \rho V = \rho \frac{4}{3}\pi R^3$.

Подставим выражение для массы $\text{M}$ в формулу для периода: $T^2 = \frac{4\pi^2 R^3}{G \left(\rho \frac{4}{3}\pi R^3\right)}$

Как видим, радиус $R^3$ в числителе и знаменателе сокращается. Это означает, что минимальный период обращения зависит только от плотности центрального тела, а не от его размера. $T^2 = \frac{4\pi^2}{G \rho \frac{4}{3}\pi} = \frac{3\pi}{G\rho}$

Теперь из этой формулы выразим искомую плотность $\rho$: $\rho = \frac{3\pi}{GT^2}$

Подставим числовые значения. В условии дан минимальный период, $T = T_{min} = 4$ с. $\rho = \frac{3 \cdot 3.14159}{6.67 \cdot 10^{-11} \mathrm{м³/(кг \cdot с²)} \cdot (4 \text{ с})^2} = \frac{9.42477}{6.67 \cdot 10^{-11} \cdot 16} \text{ кг/м³}$ $\rho = \frac{9.42477}{106.72 \cdot 10^{-11}} \text{ кг/м³} \approx 0.0883 \cdot 10^{11} \text{ кг/м³} = 8.83 \cdot 10^9 \text{ кг/м³}$

Округляя до двух значащих цифр, получаем $\rho \approx 8.8 \cdot 10^9$ кг/м³.

Ответ: плотность вещества белого карлика составляет примерно $8.8 \cdot 10^9$ кг/м³.