Номер 5, страница 77, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

5. На каком расстоянии от поверхности Земли сила притяжения космического корабля к Земле будет в 100 раз меньше, чем на ее поверхности?

(Ответ: $h = 9 R_З$)

Дано:

$F_1$ — сила притяжения на поверхности Земли.

$F_2$ — сила притяжения на искомом расстоянии $\text{h}$ от поверхности Земли.

$\frac{F_1}{F_2} = 100$

$R_З$ — радиус Земли.

Найти:

$\text{h}$ — расстояние от поверхности Земли.

Решение:

Сила всемирного тяготения описывается законом Ньютона:

$F = G \frac{M m}{r^2}$

где $\text{G}$ — гравитационная постоянная, $\text{M}$ — масса Земли, $\text{m}$ — масса космического корабля, $\text{r}$ — расстояние между центрами масс Земли и корабля.

На поверхности Земли расстояние от центра Земли до корабля равно радиусу Земли $R_З$. Сила притяжения $F_1$ в этом случае равна:

$F_1 = G \frac{M m}{R_З^2}$

На высоте $\text{h}$ от поверхности Земли расстояние от центра Земли до корабля будет $r = R_З + h$. Сила притяжения $F_2$ на этой высоте равна:

$F_2 = G \frac{M m}{(R_З + h)^2}$

По условию задачи, сила притяжения на высоте $\text{h}$ в 100 раз меньше, чем на поверхности. Это можно записать в виде отношения:

$\frac{F_1}{F_2} = 100$

Подставим выражения для сил $F_1$ и $F_2$ в это соотношение:

$\frac{G \frac{M m}{R_З^2}}{G \frac{M m}{(R_З + h)^2}} = 100$

Сократим одинаковые множители $\text{G}$, $\text{M}$ и $\text{m}$ в числителе и знаменателе дроби:

$\frac{(R_З + h)^2}{R_З^2} = 100$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Так как расстояние не может быть отрицательным, мы рассматриваем только положительный корень:

$\frac{R_З + h}{R_З} = \sqrt{100}$

$\frac{R_З + h}{R_З} = 10$

Теперь выразим искомую высоту $\text{h}$. Умножим обе части на $R_З$:

$R_З + h = 10 R_З$

Перенесем $R_З$ в правую часть уравнения:

$h = 10 R_З - R_З$

$h = 9 R_З$

Ответ: сила притяжения космического корабля к Земле будет в 100 раз меньше на расстоянии, равном девяти радиусам Земли от ее поверхности ($h = 9R_З$).