Номер 4, страница 77, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

4. Средняяплотность Венеры $5,2 \text{ г/см}^3$. РадиусВенеры $6100 \text{ км}$. Каково ускорение свободного падения на поверхности Венеры?

(Ответ: $8,85 \text{ м/с}^2$)

4. Дано:

Средняя плотность Венеры, $\rho = 5,2 \text{ г/см}^3$

Радиус Венеры, $R = 6100 \text{ км}$

Гравитационная постоянная, $G \approx 6,67 \times 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$

$\rho = 5,2 \frac{\text{г}}{\text{см}^3} = 5,2 \cdot \frac{10^{-3} \text{ кг}}{(10^{-2} \text{ м})^3} = 5,2 \cdot 10^3 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} = 5200 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

$R = 6100 \text{ км} = 6100 \cdot 10^3 \text{ м} = 6,1 \times 10^6 \text{ м}$

Найти:

Ускорение свободного падения на поверхности Венеры, $\text{g}$ - ?

Решение:

Ускорение свободного падения $\text{g}$ на поверхности планеты определяется формулой, которая является следствием закона всемирного тяготения и второго закона Ньютона:

$g = G \frac{M}{R^2}$

где $\text{G}$ — гравитационная постоянная, $\text{M}$ — масса планеты, $\text{R}$ — радиус планеты.

Масса Венеры $\text{M}$ не дана напрямую, но её можно выразить через среднюю плотность $\rho$ и объём $\text{V}$. Будем считать Венеру идеальным шаром, тогда её объём равен:

$V = \frac{4}{3} \pi R^3$

Масса вычисляется по формуле:

$M = \rho \cdot V = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3$

Теперь подставим полученное выражение для массы $\text{M}$ в формулу для ускорения свободного падения:

$g = G \frac{\rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3}{R^2}$

Сократив $R^2$, получим итоговую расчётную формулу:

$g = \frac{4}{3} \pi G \rho R$

Подставим числовые значения величин в системе СИ. Для числа $\pi$ будем использовать значение $\approx 3,14$.

$g \approx \frac{4}{3} \cdot 3,14 \cdot (6,67 \times 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}) \cdot (5200 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}) \cdot (6,1 \times 10^6 \text{ м})$

Выполним вычисления:

$g \approx \frac{4 \cdot 3,14 \cdot 6,67 \cdot 5200 \cdot 6,1}{3} \cdot 10^{-11+6} \text{ м/с}^2$

$g \approx \frac{2655436}{3} \cdot 10^{-5} \text{ м/с}^2$

$g \approx 885145 \cdot 10^{-5} \text{ м/с}^2 \approx 8,85 \text{ м/с}^2$

Ответ: $g \approx 8,85 \text{ м/с}^2$.