Номер 3, страница 74, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

3. Как, наблюдая за движением Луны вокруг Земли, доказать справедливость закона всемирного тяготения?

3. Доказательство справедливости закона всемирного тяготения на основе наблюдения за движением Луны является одним из величайших достижений Исаака Ньютона. Идея заключается в том, чтобы сравнить ускорение, с которым тела падают на Землю у её поверхности, с ускорением, которое гравитационное поле Земли сообщает Луне на её орбите. Если сила тяготения действительно ослабевает обратно пропорционально квадрату расстояния, как утверждает закон, то эти два ускорения должны находиться в определённом соотношении.

Основная гипотеза Ньютона состояла в том, что сила, удерживающая Луну на орбите, имеет ту же природу, что и сила, заставляющая яблоко падать на землю. Разница лишь в расстоянии до центра Земли.

Закон всемирного тяготения гласит: $F = G \frac{M \cdot m}{R^2}$.

Согласно второму закону Ньютона, $F = m \cdot a$. Следовательно, ускорение, сообщаемое телу гравитационной силой, равно $a = \frac{F}{m} = G \frac{M}{R^2}$. Из этой формулы видно, что ускорение, создаваемое гравитационным полем массивного тела (в данном случае Земли с массой $\text{M}$), обратно пропорционально квадрату расстояния до его центра: $a \sim \frac{1}{R^2}$.

Чтобы доказать это, выполним следующие шаги:

1. Рассчитаем, каким должно быть ускорение Луны, если предположить, что оно подчиняется закону обратных квадратов, и сравним его с ускорением свободного падения на поверхности Земли.

2. Рассчитаем реальное центростремительное ускорение Луны, исходя из известных параметров её орбиты (радиуса и периода обращения).

3. Сравним полученные значения. Если они совпадут, закон всемирного тяготения будет подтверждён.

Дано:

Ускорение свободного падения на поверхности Земли: $g = 9.81 \, \text{м/с}^2$

Средний радиус Земли: $R_З = 6370 \, \text{км}$

Средний радиус лунной орбиты: $R_Л = 384400 \, \text{км}$

Период обращения Луны вокруг Земли (сидерический месяц): $T_Л = 27.32 \, \text{суток}$

Гравитационная постоянная: $G = 6.674 \times 10^{-11} \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2$

Перевод в СИ:

$R_З = 6370 \cdot 10^3 \, \text{м} = 6.37 \times 10^6 \, \text{м}$

$R_Л = 384400 \cdot 10^3 \, \text{м} = 3.844 \times 10^8 \, \text{м}$

$T_Л = 27.32 \, \text{суток} \cdot 24 \, \text{ч/сутки} \cdot 3600 \, \text{с/ч} \approx 2.36 \times 10^6 \, \text{с}$

Найти:

Сравнить теоретическое ускорение Луны $a_{теор}$ с её наблюдаемым центростремительным ускорением $a_ц$.

Решение:

1. Расчет теоретического ускорения Луны ($a_{теор}$) по закону обратных квадратов.

Отношение ускорения свободного падения на поверхности Земли ($\text{g}$) к ускорению Луны ($a_{теор}$) должно быть равно обратному отношению квадратов расстояний от центра Земли:

$\frac{g}{a_{теор}} = \frac{R_Л^2}{R_З^2} = \left(\frac{R_Л}{R_З}\right)^2$

Сначала найдем, во сколько раз расстояние до Луны больше радиуса Земли:

$\frac{R_Л}{R_З} = \frac{3.844 \times 10^8 \, \text{м}}{6.37 \times 10^6 \, \text{м}} \approx 60.34$

То есть Луна находится примерно в 60 раз дальше от центра Земли, чем мы на её поверхности.

Теперь найдем теоретическое ускорение Луны:

$a_{теор} = g \cdot \left(\frac{R_З}{R_Л}\right)^2 = 9.81 \, \text{м/с}^2 \cdot \left(\frac{1}{60.34}\right)^2 = \frac{9.81}{3640.9} \approx 0.00269 \, \text{м/с}^2$

2. Расчет наблюдаемого центростремительного ускорения Луны ($a_ц$).

Движение Луны по орбите можно считать равномерным движением по окружности. Центростремительное ускорение для такого движения вычисляется по формуле:

$a_ц = \frac{v^2}{R_Л}$ или $a_ц = \omega^2 R_Л$, где $\omega$ - угловая скорость.

Угловая скорость связана с периодом обращения $T_Л$ формулой $\omega = \frac{2\pi}{T_Л}$.

Подставим это в формулу для ускорения:

$a_ц = \left(\frac{2\pi}{T_Л}\right)^2 \cdot R_Л = \frac{4\pi^2 R_Л}{T_Л^2}$

Вычислим значение:

$a_ц = \frac{4 \cdot (3.14159)^2 \cdot (3.844 \times 10^8 \, \text{м})}{(2.36 \times 10^6 \, \text{с})^2} = \frac{4 \cdot 9.8696 \cdot 3.844 \times 10^8}{5.5696 \times 10^{12}} \, \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = \frac{1.518 \times 10^{10}}{5.5696 \times 10^{12}} \, \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \approx 0.00272 \, \text{м/с}^2$

3. Сравнение результатов.

Теоретическое ускорение, рассчитанное из предположения об обратной квадратичной зависимости силы тяжести от расстояния, составляет $a_{теор} \approx 0.00269 \, \text{м/с}^2$.

Наблюдаемое центростремительное ускорение Луны, вычисленное из параметров её орбиты, составляет $a_ц \approx 0.00272 \, \text{м/с}^2$.

Эти два значения практически совпадают (небольшая разница объясняется неидеальной круговой формой орбиты Луны, влиянием Солнца и использованием средних значений радиусов и периода).

Ответ: Справедливость закона всемирного тяготения доказывается тем, что вычисленное на его основе теоретическое ускорение, которое Земля должна сообщать Луне ($a_{теор} \approx 0.0027 \, \text{м/с}^2$), практически в точности совпадает с реальным центростремительным ускорением Луны ($a_ц \approx 0.0027 \, \text{м/с}^2$), рассчитанным по наблюдаемым параметрам её орбиты. Это подтверждает, что сила гравитации ослабевает обратно пропорционально квадрату расстояния и является причиной, удерживающей Луну на её орбите.